电磁学

目录

• 电磁学
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  • 1. 静止电荷的电场
    • 1.1. 电量
    • 1.2. 库伦定律
    • 1.3. 电场强度
  • 2. 电场强度
    • 2.1. 点电荷的场强
    • 2.2. 点电荷系的场强
    • 2.3. 电荷连续分布带电体的场强
    • 2.4. 电偶极子
    • 2.5. 常用电场
      • 2.5.1. 均匀带电长直线的电场
      • 2.5.2. 电偶极子的电场
      • 2.5.3. 带电圆环轴线上一点的电场
      • 2.5.4. 均匀带电大平面的电场
      • 2.5.5. 均匀带电球面的电场和电势
      • 2.5.6. 无限长带电圆柱体的电场
  • 3. 高斯定理
    • 3.1. 电场强度通量
    • 3.2. 均匀电场中通过平面S的电通量
    • 3.3. 非均匀电场的电通量
  • 4. 高斯定理
    • 4.1. 真空中的高斯定理
  • 5. 静电场的保守性
  • 6. 电势能、电势和电势差
    • 6.1. 电势能
    • 6.2. 电势
    • 6.3. 电势差
    • 6.4. 电势叠加原理
    • 6.5. 电势梯度
  • 7. 静电平衡
    • 7.1. 导体的静电平衡
    • 7.2. 静电平衡时导体上的电荷分布
  • 8. 电容 电容器
    • 8.1. 孤立导体的电容
    • 8.2. 电容器
    • 8.3. 电容器电容的计算
      • 8.3.1. 平行板电容器
      • 8.3.2. 圆柱形电容器
      • 8.3.3. 球形电容器
    • 8.4. 计算电容器电容的步骤
  • 9. 电容器的串、并联
    • 9.1. 电容器的并联
    • 9.2. 电容器的串联
  • 10. 电介质的极化和介质中的高斯定理
    • 10.1. 电位移
    • 10.2. 有介质时的高斯定理
    • 10.3. 极化电荷面密度
    • 10.4. 计算电介质中场强的步骤
  • 11. 电场的能量
    • 11.1. 电容器的能量
    • 11.2. 电场的能量，能量密度

1. 静止电荷的电场

1.1. 电量

电量：带电体所带电荷的量值，一般用$q$表示，在$SI$制中，其单位为库仑$(C)$。

$$q = ne, n= 1, 2, 3 \dots$$

基本电荷量:

$$e = 1.602 \times 10^{−19} C$$

结论：电子所带电量正好是一个基本电荷量。物体带电是由于得失电子所致，当一个中性物体得到电子则呈现负电性，而当一个中性物体失去电子则呈现正电性。

1.2. 库伦定律

真空中的库仑定律：真空中两个静止点电荷相互作用力 $F$ 的大小与这 两个点电荷所带电量 $q_1$ 和 $q_2$ 的乘积成正比，与它们之间的距离 $r$ 的平方成反比。作用力 $F$ 的方向沿它们的连线方向，同号相斥，异号相吸。

$$\vec{F}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{o}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \vec{e_r}$$

$\varepsilon_0$称为真空中的介电常数， 又称为真空中的电容率，$e_r$ 表示 $\vec{r}$ 方向的单位矢量。

$$\varepsilon_0 =8.85 \times 10^{−12} (N^{−1} m^{−2} C^2)$$

1.3. 电场强度

$$E = \frac{F}{q_0}$$

电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点所受的力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。

场强叠加原理：

点电荷系电场中某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和。

$$\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}+\cdots+\vec{E}_{n}$$

求相互作用力

$$F = Eq$$

2. 电场强度

2.1. 点电荷的场强

$$\vec{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{o}} \frac{q}{r^{2}} \vec{e_r}$$

2.2. 点电荷系的场强

$$\vec{E}= \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{o}} \frac{q_i}{r_i^{2}} \vec{e_r}$$

2.3. 电荷连续分布带电体的场强

$$\vec{E}= \int d\vec{E} = \int \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{o}} \frac{dq}{r^{2}} \vec{e_r}$$

体电荷：$dq = \rho dV$

线电荷：$dq = \lambda dl$

面电荷：$dq = \sigma ds$

2.4. 电偶极子

电偶极子：大小相等，符号相反并有一微小间距的两个点电荷构成的复合体。

电偶极矩

$$\vec{p} = q \vec{l}$$

电偶极子延长线上任一点$A$的场强

$$\vec{E_A}=\frac{2}{4 \pi \varepsilon_{o}} \frac{\vec{p}}{r^{3}} \vec{e_r}$$

计算电偶极子中垂线上任一点 $B$ 的场强

$$\vec{E_B}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{o}} \frac{\vec{p}}{r^{3}} \vec{e_r}$$

2.5. 常用电场

2.5.1. 均匀带电长直线的电场

$$E = \frac{\lambda }{2\pi \varepsilon_0 r}$$

$\lambda$ 为 单位长度所带电荷量，即 $\lambda = q / L$

2.5.2. 电偶极子的电场

$$\vec{E_b} = \frac{ \vec{p_e} }{2\pi \varepsilon_0 r^3}$$

2.5.3. 带电圆环轴线上一点的电场

$$E = \frac{qx}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$$

当 $x = 0$ 时，$E = 0$。

2.5.4. 均匀带电大平面的电场

$$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$$

2.5.5. 均匀带电球面的电场和电势

$$E_{内} = 0\quad E_{外} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$$

$$U_{内} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} \quad U_{外} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$$

2.5.6. 无限长带电圆柱体的电场

$$E_{\text {内 }}=\frac{\lambda r}{2 \pi \varepsilon_{0} R^{2}} \quad E_{\text {外 }}=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}$$

3. 高斯定理

3.1. 电场强度通量

电场强度通量(电通量) $\Psi_e$，表示通过电场中任一曲面的电场线条数。

3.2. 均匀电场中通过平面S的电通量

$$\Psi_e = ES \cos \theta = \vec{E} \cdot \vec{S}$$

$\theta$ 为平面正法线的单位矢量 $e_n$ 与 电场强度 $E$ 形成的夹角。面积矢量 $S$ 大小等于平面的面积 $S$，方向为平面正法线的方向。

3.3. 非均匀电场的电通量

$$\Psi_e = \iint\limits_S E\cos \theta dS = \iint\limits_S E \cdot dS$$

当$S$ 是闭合曲面时，可写成

$$\Psi_e = \oiint\limits_S E\cos \theta dS = \oiint\limits_S E \cdot dS$$

$\oiint\limits_S$ 表示闭合曲面积分。

1. 当 $\theta < 90\degree$时，电场线穿出闭合曲面，电通量为正
2. 当 $\theta > 90\degree$时，电场线穿进闭合曲面，电通量为负
3. 当 $\theta = 90\degree$时，电场线与闭曲面相切，电通量为零

4. 高斯定理

4.1. 真空中的高斯定理

在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的 $1/\varepsilon_0$倍。

$$\Psi_{e}=\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_{o}} \sum_{i=1}^{n} q_{i}$$

5. 静电场的保守性

保守力作功的特点：

$$A = \oint_l q_0\vec{E} \cdot d \vec{l} = 0$$

静电场的环流定理：静电场中电场强度 $\vec{E}$ 的环流为零

$$\oint_l \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0$$

6. 电势能、电势和电势差

6.1. 电势能

保守力作功等于势能的减少

$$A_{a b}=q_{o} \int_{a}^{b} \vec{E} \cdot d \vec{l}=W_{a}-W_{b}$$

令 $b$ 点的势能为零 $(W_b =0)$，$a$ 点的势能

$$W_a = \int_{a}^{b} q_0 \vec{E} \cdot d \vec{l}$$

试验电荷 $q_0$在空间某处的电势能在数值上就 等于将 $q_0$ 从该处移至势能的零点电场力所作的功。

注: 虽说电势能的零点可以任意选取，但是在习惯 上，当场源电荷为有限带电体时，通常把电势 能的零点选取在无穷远处。

空间 $a$ 点的电势能

$$W_a = \int_{a}^{\infin} q_0 \vec{E} \cdot d \vec{l}$$

6.2. 电势

连续带电体的电势，寻找 $dq = f(x)$

$$V_a = \frac{W_a}{q_0} = \int_{a}^{\infin} \vec{E} \cdot d \vec{l}$$

单位：伏特($V$)

结论：电场中 $a$ 点的电势，在数值上等于把单位正电荷从$a$ 点移至势能的零点处电场力所作的功。

6.3. 电势差

$$U_{ab} = V_a - V_b = \int_a^b \vec{E} \cdot d\vec{l}$$

$E$ 均匀，距离为 $d$时

$$U_{ab} = \vec{E} d$$

结论：静电场中 $a,b$ 两点的电势差，等于将单位正电荷从$a$点移至 $b$ 点电场力所作的功。

$$A_{ab} = q_0 (V_a - V_b)$$

6.4. 电势叠加原理

点电荷的电势

$$V_{a}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{o} r_{a}}$$

点电荷系的电势

$$V_p = V_1 + V_2 + \dots + V_n$$

6.5. 电势梯度

$$E \cos \theta = E_l = - \frac{dV}{dl}$$

结论： 电场中某一点的场强沿任一方向的分量等于 这一点的电势沿该方向的方向导数的负值。

电势梯度矢量：

$$grad V = \frac{dV}{dn} \vec{e_n}$$

记为$grad V$ 或 $\Delta V$。

电势梯度的大小等于电势在该点最大空间变化率；方向沿等势面法向，指向电势增加的方向。

又由于电场线的方向，亦即电场强度的方向，恒垂直于等势面，而且指向电势降落的方向。

$$\vec{E} = -grad V = - \Delta V$$

矢量式：

$$\begin{aligned} &\quad g r a d V=\nabla V=\frac{\partial V}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial V}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial V}{\partial z} \vec{k}\\ &\vec{E}=E_{x} \vec{i}+E_{y} \vec{j}+E_{z} \vec{k}=-\frac{\partial V}{\partial x} \vec{i}-\frac{\partial V}{\partial y} \vec{j}-\frac{\partial V}{\partial z} \vec{k} \end{aligned}$$

7. 静电平衡

7.1. 导体的静电平衡

我们把导体中没有电荷作任何定向运动的状态称为静电平衡状态。因此，导体静电平衡的必要条件就是导体内任一点的电场强度都等于零。

7.2. 静电平衡时导体上的电荷分布

$$\vec{E} = \frac{{\sigma}}{\varepsilon_0} \vec{e_n} = \frac{{\sigma_0}}{\varepsilon} \vec{e_n}$$

${\sigma}$ 是导体表面 $P$ 点的电荷面密度，$\vec{e_n}$ 是导体表面的法向单位矢量。上式表面带点导体表面附近的电场强度与该表面的电荷面密度成正比，电场强度方向垂直于表面。${\sigma_0}$ 为自由电荷面密度。

平面表面电荷量 $q$

$$q = {\sigma} S$$

$S$ 为平面表面积。

8. 电容 电容器

8.1. 孤立导体的电容

定义：孤立导体所带电量 $Q$ 与其电势 $V$ 的比值

$$C = \frac{Q}{V}$$

单位：法拉（$F$），$1F = C \cdot V^{-1}$

$$1F= 10^6\mu$$

真空中孤立导体球的电容：

$$V=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{o} R}$$

$$C=\frac{Q}{V}=4 \pi \varepsilon_{o} R$$

8.2. 电容器

电容器： 一种储存电能的元件。由电介质隔开的两块任意形状导体的组合。两导体称为电容器的极板。

电容器电容：极板电量 $q$与极板间电势差 $\Delta V$之比值。

$$C = \frac{q}{\Delta V}$$

8.3. 电容器电容的计算

8.3.1. 平行板电容器

$$C=\frac{q}{V_{A}-V_{B}}=\frac{\varepsilon_{o} S}{d}$$

$S$ 为平行板面积，$d$ 为两板内表面间的距离。

8.3.2. 圆柱形电容器

$$C=\frac{q}{\Delta V}=\frac{2 \pi \varepsilon_{0} l}{\ln R_{B} / R_{A}}$$

$l$ 为两圆柱面的长度（高度），$R_A$为内层圆柱面半径，$R_B$ 为外层圆柱面半径。

8.3.3. 球形电容器

$$C=\frac{q}{\Delta V} = 4 \pi \varepsilon_{o} \frac{R_{A} R_{B}}{R_{B}-R_{A}}$$

$R_A$为内层球形半径，$R_B$ 为外层球形半径。

8.4. 计算电容器电容的步骤

1. 计算极板间的场强E
2. 计算极板间的电势差 $\Delta V=\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}$
3. 由电容器电容定义计算 $C$

$$C = \displaystyle \frac{q}{\Delta V}$$

9. 电容器的串、并联

9.1. 电容器的并联

等效电容：

$$C = \frac{q}{V} = C_1 + C_2 + \dots + C_n$$

结论： 并联电容器的等效电容等于各电容器电容之和。

9.2. 电容器的串联

等效电容：

$$\frac{1}{C} = \frac{V}{q} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$$

结论：串联电容器的等效电容的倒数等于各电容的倒数之和

10. 电介质的极化和介质中的高斯定理

10.1. 电位移

电位移定义

$$\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$$

对各向同性的均匀介质电位移，$D$ 与电场强度 $E$ 的简单关系为

$$\vec{D} = (1 + \chi_e)\varepsilon_0 \vec{E} = \varepsilon \vec{E}$$

$\varepsilon$ 为电容率或介电常量。

电介质的电容率 $\varepsilon$ 与真空电容率 $\varepsilon_0$ 之比称为该电介质的相对电容率 $\varepsilon_r$ ，$\varepsilon_r = \varepsilon / \varepsilon_0$是无量纲的纯数。

$$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$$

$\varepsilon_r$ 为相对电容率，表示预测材料为介质与以真空为介质制成的同尺寸电容器电容量之比，该值也是材料贮电能力的表征，$\varepsilon_r \ge 1$。

$$\varepsilon_r = 1 + \chi_e$$

$\chi_e$ 为电极化率。

电极化强度 $P$

$$P = \frac{\sum \vec{p}}{\Delta V}$$

对于各向同性线性电介质，电极化强度 $P$ 和介质内部的合电场强度 $E$ 的关系为

$$P = \chi_e \varepsilon_0 E$$

其中 $E$ 为合电场强度。

$$E = E_0 + E'$$

把激发外电场的原有电荷系称为自由电荷，并用 $E_0$ 表示它们所激发的电场强度，而用 $E'$ 表示极化过程完成之后极化电荷所激发的电场强度。那么，空间任一点最终的合电场强度 $E$ 应是上述两类电荷所激发的电场强度的矢量和。

10.2. 有介质时的高斯定理

$$\oiint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_0 = \sum q_i$$

规定在垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数目等于该电的电位移 $D$ 的量值，称为电通量。

有介质时的高斯定理说明，通过电介质中任一闭合曲面的电通量等于该面所包围的自由电荷量的代数和。

10.3. 极化电荷面密度

$$\sigma' = \vec{P} \cdot \vec{e_n} = {P_n}$$

介质极化所产生的极化电荷面密度等于电极化强度沿介质表面外法线的分量。

10.4. 计算电介质中场强的步骤

1. 根据介质中的高斯定理计算出电位移矢量。

$$\oiint \vec{D} \cdot d\vec{S} = q_0 = \sum q_i$$

$q_0$ 表示自由电荷量

1. 根据电场强度与电位移矢量的关系计算场强。

$$\vec{E} = \frac{\vec{D}}{\varepsilon}$$

11. 电场的能量

11.1. 电容器的能量

$$Q = CV$$

$$W_{e}=\frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C}=\frac{1}{2} Q \Delta V=\frac{1}{2} C \Delta V^{2}$$

11.2. 电场的能量，能量密度

电场的能量密度: 单位体积电场所具有的能量。单位 $J / m^3$。

平行板电场能量密度$w_e$。

$$w_{e}=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2}=\frac{D^{2}}{2 \varepsilon}=\frac{1}{2} D E$$

一般情况下的电场能量密度

$$w_e = \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E}$$

计算电场中所储存的总能量

$$W_e = \int_V w_e dV = \int_V \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E} dV$$