热力学基础 #

目录 #

热力学基础

1. 热力学第一定律 #

包括热现象在内的能量守恒和转换定律。

$Q= (E_2 - E_1) + A$

$Q$ 表示系统吸收的热量， $A$ 表示系统对外所作的功， $\Delta E$ 表示系统内能的增量。

热力学第一定律微分形式:

$d Q = dE + dA$

理想气体状态方程

$PV = \frac{m}{M} R T$

理想气体内能公式

$E = \frac{m}{M} \frac{i}{2} RT$

2. 热力学第一定律的应用 #

2.1. 等容过程 #

气体在状态变化过程中体积保持不变。

$V = \text{恒量}, dV = 0, dA = P dV = 0$

等容过程的热力学第一定律

$dQ_v = dE$

在等容过程中，系统吸收的热量完全用来增加自身的内能。

摩尔定容热容，是指 1 $mol$ 气体在体积不变的条件下，温度改变 1 $K$ 或 1 $\degree C$ 所吸收或放出的热量。用 $C_v$ 表示。

$C_v = \frac{i}{2}R$

等容过程系统的吸热

$Q_v = \frac{m}{M} \frac{i}{2} R(T_2 - T_1)$

等容过程系统内能的增量

$\Delta E = \frac{m}{M} \frac{i}{2} R(T_2 - T_1)$

等容过程系统作功

$A = 0$

2.2. 等压过程 #

等压过程:气体在状态变化过程中压强保持不变。

$P = \text{恒量}, dp = 0$

等压过程的热力学第一定律:

$dQ_p = dE + pdV$

$Q_p = \Delta E + p(V_2 - V_1)$

摩尔定压热容，迈耶公式

$C_p = C_v + R = \frac{i}{2}R + R$

摩尔定压热容 $C_p$ 与摩尔定容热容 $C_v$ 之比，用 $\gamma$ 表示，叫做摩尔热容比或绝热系数。

$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{i + 2}{i}$

单原子气体: $i = 3, \gamma = \displaystyle\frac{5}{3} = 1.67$

单原子气体: $i = 5, \gamma = \displaystyle\frac{7}{5} = 1.4$

单原子气体: $i = 6, \gamma = \displaystyle\frac{8}{6} = 1.33$

等压过程系统的吸热

$Q_{p}=\frac{m}{M} C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)=\frac{m}{M} \frac{i+2}{2} R\left(T_{2}-T_{1}\right)$

等压过程系统内能的增量

$\Delta E=\frac{m}{M} \frac{i}{2} R\left(T_{2}-T_{1}\right)$

等压过程系统作功

$A = P(V_2 - V_1) = \frac{m}{M} R\left(T_{2}-T_{1}\right)$

2.3. 等温过程 #

等温过程：气体在状态变化过程中温度保持不变。

$T = \text{恒量}, dE = 0$

等温过程的热力学第一定律：

$dQ_T = dA$

等温过程系统作功和吸热：

$Q_{T}=A=\frac{m}{M} R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{m}{M} R T \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}$

等温过程系统内能的增量：

$\Delta E = 0$

3. 理想气体的绝热过程 #

3.1. 绝热过程 #

绝热过程：气体在状态变化过程中系统和外界没有热量的交换的过程。

$dQ = 0$

绝热过程的热力学第一定律：

$0 = dA_Q + dE_Q$

$A + \Delta E = 0$

绝热过程内能增加：

$\Delta E_Q = \frac{m}{M} \frac{i}{2} R\left(T_{2}-T_{1}\right)$

绝热过程的功：

$A_Q = -\frac{m}{M} \frac{i}{2} R\left(T_{2}-T_{1}\right)$

绝热过程方程：

$PV^\gamma = C_1$

$TV^{\gamma - 1} = C_2$

$P^{\gamma - 1}V^{-\gamma} = C_3$

3.2. 多方过程 #

$PV^n = \text{常数}$

等压过程： $n = 0$
等温过程： $n = 1$
等容过程： $n = \infin$
绝热过程： $n = \gamma$

摩尔热容量

$C = \frac{n - \gamma}{n - 1}C_V$

功

$C = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{n - 1}$

4. 循环过程和卡诺循环 #

4.1. 循环过程 #

循环过程：系统经历一系列的变化过程又回到初始状态的过程。

循环特征：经历一个循环过程后，内能不变。

循环过程

结论：在任何一个循环过程中，系统所作的净功在数值上等于P-V图上循环曲线所包围的面积。

4.1.1. 循环过程的分类 #

正循环：在P-V图上循环过程按顺时针进行
逆循环：在P-V图上循环过程按逆时针进行
热机：工作物质作正循环的机器
致冷机：工作物质作逆循环的机器

设:系统吸热 $Q_1$ ，系统放热 $Q_2$ 。

循环过程的热力学第一定律

$Q_1 + Q_2 = A$

4.1.2. 热机效率 #

在一次循环过程中，工作物质对外作的净功与它从高温热源吸收的热量之比。

$\because |Q_1| - |Q_2| = A$

$\eta=\frac{A}{Q_{1}}=1-\frac{\left|Q_{2}\right|}{Q_{1}}$

4.1.3. 致冷过程 #

外界作功 $A$ ，系统吸热 $Q_2$ ，放热 $Q_1$ 。

$A = |Q_2| - |Q_1|$

$w = \frac{Q_2}{|A|} = \frac{Q_2}{|Q_1| - |Q_2|}$

4.2. 卡诺循环 #

卡诺循环

卡诺循环效率

$\eta=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$

结论：卡诺循环的效率仅仅由两热源的温度决定。

卡诺致冷系数：

$w = \frac{Q_2}{|A|} = \frac{Q_2}{|Q_1| - |Q_2|} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$