相对论基础 #

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相对论基础

1. 洛伦兹变换 #

当一坐标系相对于静止坐标系沿着 $x$ 轴正方向以 $v$ 速度运动时。

$x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - ( \displaystyle \frac{v}{c}})^2}$

$y' = y$

$z' = z$

$t' = \frac{t - \displaystyle\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1 - ( \displaystyle \frac{v}{c}})^2}$

$v$ 的正方向为 $x$ 轴方向。

洛伦兹逆变换

$x = \frac{x' + vt}{\sqrt{1 - ( \displaystyle \frac{v}{c}})^2}$

$y = y'$

$z = z'$

$t = \frac{t' + \displaystyle\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1 - ( \displaystyle \frac{v}{c}})^2}$

2. 相对论速度变换 #

$u_x' = \displaystyle \frac{u_x - v}{1- \displaystyle \frac{v}{c^2} u_x}$

其中 $v$ 为两个参考系的相对速度， $u_x$ 为物体相对静止系的速度， $u_x'$ 为物体相对运动系的速度。

$u_y' = \displaystyle \frac{u_y \sqrt{1 - ( \displaystyle \frac{v}{c}})^2}{1- \displaystyle \frac{v}{c^2} u_x}$

$u_z' = \displaystyle \frac{u_z \sqrt{1 - ( \displaystyle \frac{v}{c}})^2}{1- \displaystyle \frac{v}{c^2} u_x}$

逆变换：

$u_x = \displaystyle \frac{u_x' + v}{1 + \displaystyle \frac{v}{c^2} u_x}$

$u_y = \displaystyle \frac{u_y' \sqrt{1 + ( \displaystyle \frac{v}{c}})^2}{1- \displaystyle \frac{v}{c^2} u_x}$

$u_z = \displaystyle \frac{u_z' \sqrt{1 + ( \displaystyle \frac{v}{c}})^2}{1- \displaystyle \frac{v}{c^2} u_x}$

3. 动矢变短 #

$l = l_0 \sqrt{ 1 - (\frac{v}{c})^2}$

$l_0$ 为固有长度。

4. 动钟变慢 #

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{ 1 - (\displaystyle \frac{v}{c})^2}}$

$\Delta t_0$ 为固有时间，表示在某一惯性系中同一地点先后发生两事件的时间间隔。

5. 动质变大 #

$m = \frac{ m_0}{\sqrt{ 1 - (\displaystyle \frac{v}{c})^2}}$

6. 相对论基本方程 #

6.1. 动量 #

$\vec{p} = m \vec{v} = \frac{m_0}{\sqrt{ 1 - (\displaystyle \frac{v}{c})^2}} \vec{v}$

6.2. 力 #

$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{d\vec{t}} = \frac{d m\vec{v}}{d\vec{t}} = m \frac{d\vec{v}}{d\vec{t}} + v \frac{d m}{d\vec{t}}$

7. 能量 #

相对论动能

$E_k = mc^2 - m_0 c^2$

相对论总能量

$E = mc^2$

相对论静能

$E_0 = m_0 c^2$

动量和能量关系式

$E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2$

光子

$m_0 = 0$

光子能量

$E = pc$

光子动量

$p = \frac{E}{c}$