第三章刚体的运动 #

1. 角速度的矢量性角加速度 #

刚体：形状和大小都不变的物体。

角速度的大小

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

角速度 $\omega$ 的方向：

由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。

线速度与角速度之间的关系:

$\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}$

角加速度矢量：

$\overrightarrow{\boldsymbol{\beta}}=\frac{d \vec{\omega}}{d t}$

2. 定轴转动定律 #

2.1. 对转轴的力矩 #

力 $F$ 作用在刚体上，可以分解为与转轴平行的分力 $\vec{F}_{\parallel}$ 和与转轴垂直的分力 $\vec{F}_{\perp}$ 。

$\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}_{\perp}$

$\vec{F}_{\perp}$ 为力 $F$ 与转轴垂直的分力。

2.2. 定轴转动定律 #

转动惯量：

$J=\sum \Delta m_{i} r_{i}^{2}$

转动定律：

$M_{z}=J \beta$

刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。

2.3. 转动惯量 #

$J = \frac{M}{\beta}$

转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度

转动惯量的定义式:

$J=\sum \Delta m_{i} r_{i}^{2}$

连续体的转动惯量:

$J=\int r^{2} d m$

注：转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。

计算转动惯量：

由定义计算转动惯量
平行轴定理

若刚体对过质心的轴的转动惯量为 $J_c$ ，则刚体对与该轴相距为 $d$ 的平行轴z的转动惯量 $J_z$ 是

$J_z = J_c + md^2$

回转半径

设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为 $J$ ，则定义物体对该转轴的回转半径 $r_G$ 为:

$r_{G}=\sqrt{\frac{J}{m}}$

$J=m r_{G}^{2}$

3. 刚体定轴转动的功能原理 #

3.1. 转动动能 #

$E_{k}=\frac{1}{2} J \omega^{2}$

$E_{k}=\frac{1}{2} J_{c} \omega^{2}+\frac{1}{2} m v_{c}^{2}$

结论：刚体绕定轴的转动动能等于刚体绕质心的转动动能与质心携带总质量 $m$ 以质心速度 $v_c$ 绕该定轴作圆周运动的平动动能之和。

3.2. 力矩的功和功率 #

力矩的功：

$A_{i}=\int_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}} M_{i} d \varphi$

合力矩的功：

$A=\int_{Q}^{\varphi_{2}} \sum M_{i} d \varphi=\int_{Q}^{\varphi_{2}} M d \varphi$

力矩功率：

$P=\frac{d A}{d t}=\frac{M d \varphi}{d t}=M \omega$

3.3. 刚体定轴转动的动能定理 #

合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。

$A=\frac{1}{2} J \omega_{2}^{2}-\frac{1}{2} J \omega_{1}^{2}$

3.4. 刚体定轴转动的角动量守恒定律 #

3.4.1. 刚体对定轴的角动量 #

$L_{z}=\sum \Delta m_{i} r_{i}^{2} \omega=J_{z} \omega$

一般规定：逆时针转动 $L$ 为正，顺时针转动 $L$ 为负

3.4.2. 刚体的角动量定理 #

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} M d t=L_{2}-L_{1}=J_{2} \omega_{2} -J_{1} \omega_{1}$

刚体的角动量定理：刚体在 $t_1 \to t_2$ 时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量。

3.4.3. 刚体的角动量守恒定律 #

角动量守恒定律：刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变。

$M_z = 0$

$J_2 \omega_2 = J_1 \omega_1$

物体系的角动量守恒:

对有几个物体或质点构成的系统，若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零，则整个物体系对该转轴的总角动量守恒。

$\sum J_{i} \vec{\omega}_{i}+\sum \vec{r}_{i} \times m \vec{v}_{i}=\text { 恒矢量 }$