第二章运动的守恒量和守恒定律 #

1. 功和功率 #

1.1. 功 #

功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累作用。

功的定义:功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累作用。

在力 $\vec{F}$ 的作用下，物体发生了位移 $d\vec{r}$ ，则把力在位移方向的分量与位移 $d\vec{r}$ 大小的乘积称为功。

$d A=F \cos \alpha|d \vec{r}|$

合力的功

$A = A_1 + A_2 + \cdots + A_n$

结论：合力的功等于各分力的功的代数和

1.2. 功率 #

功率是反映作功快慢程度的物理量。

功率：单位时间内做的功

平均功率

$\bar{P} = \frac{\Delta A}{\Delta t}$

单位：瓦特 $(W)=(J/s)$

瞬时功率

$P=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{d A}{d t}$

$P=\frac{d A}{d t}=\frac{\vec{F} \cdot d \vec{r}}{d t}=\vec{F} \cdot \vec{v}$

1.3. 质点动能定理 #

动能：质点由于运动而具有的能量，为一状态量。

$E_k = \frac{1}{2} mv^2$

单位： $J$

总功：

$A=\int d A=\int_{v_{1}}^{v_{2}} m v d v=\frac{1}{2} m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)$

质点的动能定理：

合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。

$A=\frac{1}{2} m v_{2}^{2}-\frac{1}{2} m v_{1}^{2}=E_{k b}-E_{k a}$

1.4. 保守力的功势能 #

1.4.1. 保守力的功 #

1.4.1.1. 重力的功

$A=-m g \int_{y_{1}}^{y_{2}} d y=-\left(m g y_{2}-m g y_{1}\right)$

结论：重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关。

1.4.1.2. 弹性力的功

$A=\frac{1}{2} k x_{1}^{2}-\frac{1}{2} k x_{2}^{2}=-\left(\frac{1}{2} k x_{2}^{2}-\frac{1}{2} k x_{1}^{2}\right)$

结论：弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性形变的过程无关。

1.4.1.3. 万有引力的功

$\begin{aligned} &A=-G M m \int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{d r}{r^{2}}=G M m\left(\frac{1}{r_{b}}-\frac{1}{r_{a}}\right) \\ &=-G M m\left\{\left(-\frac{1}{r_{b}}\right)-\left\{-\frac{1}{r_{a}}\right\}\right\} \end{aligned}$

结论：万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与物体的运动路径无关。

保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。

保守力的特点：保守力沿任何闭合路径作功等于零。

$\oint \vec{F} \cdot d \vec{r}=0$

1.5. 势能 #

由物体的相互作用和相对位置所确定的系统能量称为势能 $(E_p)$

保守力的功与势能的关系：物体在保守力场中 $a, b$ 两点的势能 $E_{pa}$ ， $E_{pb}$ ，之差等于质点由 $a$ 点移动到 $b$ 点过程中保守力对它做的功 $A_{ab}$ 。

$\begin{aligned} &E_{p a}-E_{p b}=\int_{a}^{b} \vec{F} \cdot d \vec{r}=A_{a b} \\ &A_{a b}=-\left(E_{p b}-E_{p a}\right)=-\Delta E_{p} \end{aligned}$

保守力作功在数值上等于系统势能的减少(或势能增量的负值)。

结论：空间某点的势能 $E_p$ 在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。

重力势能

地面 $(h=0)$ 为势能零点

$E_{p}=m g h$

弹性势能

弹簧自由端为势能零点

$E_{p}=\frac{1}{2} k x^{2}$

引力势能

无限远处为势能零点

$E_{p}=-G \frac{M m}{r}$

1.5.1. 由势函数求保守力 #

保守力与势能的积分关系

$A = - \Delta E_p$

保守力与势能的微分关系

$dA = -dE_p$

矢量式:

$\vec{F}=-\left(\frac{\partial E_{p}}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial E_{p}}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial E_{p}}{\partial z} \vec{k}\right)$

1.6. 机械能守恒定律 #

1.6.1. 质点动能定理 #

$\sum A_{i}=\sum E_{k i}-\sum E_{k i o}$

其中：

$\sum A_i$ 为作用于系统的总功，包括总外力功 $A$ 外和总内力功 $A$ 内。

$\sum E k_i$ 为系统末状态的总动能，表示为 $E_k$

$\sum E k_{io}$ 为系统初状态的总动能，表示为 $E_{ko}$

质点系的动能定理：所有外力和内力对系统所作的功之和等于系统总动能的增量。

1.6.2. 质点系的功能原理 #

质点系的功能原理：

质点系在运动过程中，所有外力的功和系统内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。

$A_{\text {外 }}+A_{\text {非保内 }}=E-E_{0}$

其中 $E = E_k + E_p$ 称为机械能。

1.6.3. 机械能守恒定律 #

$A_{\text {外 }}+A_{\text {非保内 }} =E-E_{0}$

当合外力

$A_{\text {外 }}+A_{\text {非保内}}=0$

则

$E=E_{0}$

机械能守恒定律：如果一个系统只有保守力作功，其它内力和一切外力都不做功，或所做功的代数和等于零，那么系统的总机械能保持不变。

1.7. 动量定理动量守恒定律 #

1.7.1. 动量 #

动量：运动质点的质量与速度的乘积。

$\vec{p} = m \vec{v}$

单位： $kg \cdot m \cdot s^{-1}$

1.7.2. 冲量 #

冲量是反映力的时间累积效应的物理量

恒力的冲量：

$\vec{I} = \vec{F} \cdot (t_2 - t_1)$

变力的冲量

$\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) \cdot dt$

单位： $N \cdot s$

1.7.3. 质点动量定理 #

质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。

$\vec{I}=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F} \cdot d t=\vec{p}_{2}-\vec{p}_{1}=m \vec{v}_{2}-m \vec{v}_{1}$

质点系的动量定理：质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum \vec{F}_{i} d t=\vec{P}_{2}-\vec{P}_{1}=\Delta \vec{P}$

微分式：

$\sum \vec{F}_{i}=\frac{d \vec{P}}{d t}$

1.8. 动量守恒定律 #

系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。

$\vec{P}=\sum m_{i} \vec{v}_{i}=\text { 常矢量 } \quad$

条件： $\sum \vec{F}_{i}=0$

说明：

系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。
当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。(如：碰撞，打击等)

动量守恒的分量式：

$P_{x} =\sum m_{i} v_{i x}=\text { 常量 } \text { 若 } \sum F_{i x}=0$

$P_{z} =\sum m_{i} v_{i z}=\text { 常量 } \text { 若 } \sum F_{i z}=0$

$P_{y} =\sum m_{i} v_{i y}=\text { 常量 } \text { 若 } \sum F_{i y}=0$

1.9. 碰撞 #

碰撞：两个或两个以上的物体发生极为短暂的相互作用。

三种碰撞

弹性碰撞：碰撞后物体的变形可以完全恢复，且碰撞前后系统的总机械能守恒。
非弹性碰撞：碰撞后物体的变形只有部分恢复，系统有部分机械能损失。
完全非弹性碰撞：碰撞过程中物体的变形完全不能恢复，以致两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。

碰撞定律：碰撞后两球的分离速度 $(v_2 - v_1)$ 与碰撞前两球的接近速度 $(v_{10}-v_{20})$ 成正比。比值由两球的质料决定。

$e = \frac{v_2 - v_1}{v_{10} - v_{20}}$

$e$ 称为恢复系数

弹性碰撞： $e = 1$ 非弹性碰撞： $0 < e < 1$ 完全非弹性碰撞： $e = 0, v_2= v_1$

1.10. 质点的角动量和角动量守恒定律 #

1.10.1. 质点的角动量 #

设t时刻质点的位矢 $\vec{r}$ ，质点的动量 $mv$ ，运动质点对参考原点 $O$ 的角动量定义为

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m \vec{v}$

单位： $Kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}$

角动量大小：

$L=r p \sin \varphi=r m v \sin \varphi$

角动量的方向：位矢 $\vec{r}$ 和动量 $m\vec{v}$ 的矢积方向。

1.10.2. 对定点的力矩 #

设作用力 $\vec{F}$ 作用于矢径为 $\vec{r}$ 的某一点上。

作用力 $\vec{F}$ 对参考原点 $o$ 的力矩定义为

$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$

单位： $N \cdot m$

力矩的大小：

$M = rF \sin \varphi$

力矩的方向：位矢 $\vec{r}$ 与作用力 $\vec{F}$ 的矢积方向

力臂：作用力线到参考点 $o$ 的垂直距离 $(d = r \sin \varphi)$

1.11. 质点的角动量定理 #

$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \frac{d\vec{L}}{d t}$

角动量定理：质点所受的合外力矩就等于角动量对时间的变化率。

1.12. 角动量守恒定律 #

$\vec{L} = \vec{r} \times m \vec{v} = \text{常矢量}$

条件： $\vec{M} = 0$

角动量守恒定律：如果对于某一定点 $o$ ，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该定点的角动量保持不变。

1.13. 质心质心运动定理 #

1.13.1. 质心 #

质心位置

$\vec{r}_{c}=\frac{m_{1} \vec{r}_{1}+m_{2} \vec{r}_{2}+\cdots+m_{n} \vec{r}_{n}}{m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}}=\frac{\sum m_{i} \vec{r}_{i}}{M}$

质心位置的分量式:

$x_{c}=\frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}}$

$y_{c}=\frac{\sum m_{i} y_{i}}{\sum m_{i}}$

连续体的质心位置：

$x_{c}=\frac{\int x d m}{\int d m}$

$y_{c}=\frac{\int y d m}{\int d m}$

$z_{c}=\frac{\int z d m}{\int d m}$

说明：对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在其几何中心。

1.13.2. 质心运动定理 #

$\sum \vec{F}_{i}=M \vec{a}_{c}$

质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量M，它受到的外力为质点系所受所有外力的矢量和。

质心的两个重要性质:

系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量。
系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。