第一章运动和力 #

目录 #

1. 质点运动学 #

1.1. 质点运动的描述 #

1.1.1. 位置矢量 #

$\overrightarrow{r}$

1.1.2. 位移 #

$\Delta \overrightarrow{r}$

1.1.3. 运动函数 #

$\overrightarrow{r}(t)$

1.1.4. 匀加速直线运动的运动方程 #

$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} at^2$

$v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$

1.1.5. 速度 #

$\overrightarrow{v} = \dfrac{d \overrightarrow{r}}{d {t}}$

1.1.6. 加速度 #

$\overrightarrow{a} = \dfrac{d \overrightarrow{v}}{d{t}} = \dfrac{d^2 \overrightarrow{r}}{d {t}^2}$

1.1.7. 点积与叉积 #

$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = AB \cos \theta$

$\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = AB \sin \theta \overrightarrow{e}$

$\overrightarrow{e}$ 方向使用右手法则确定

1.2. 抛体运动 #

1.2.1. 运动方程 #

以 $\overrightarrow{v_0}$ 表示物体的初速度，以 $\theta_0$ 表示抛射角，则 $\overrightarrow{v_0}$ 在 $Ox$ 和 $Oy$ 轴上的分量是

$v_{0x} = v_0 \cos \theta_0$

$v_{0y} = v_0 \sin \theta_0$

运动学方程为

$\overrightarrow{r} = (v_0 \cos \theta_0 i + v_0 \sin \theta_0)t - \frac{1}{2} gt^2 j$

使用矢量 $\overrightarrow{v_0}$ 和 $\overrightarrow{g}$ 来表示，则上式可写成

$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v_0} + \frac{1}{2} \overrightarrow{g}t^2$

1.2.2. 射程与射高 #

若消去运动方程中的 $t$ ，则得抛体的轨迹方程为

$y = x\tan \theta_0 - \frac{1}{2} \frac{gx^2}{v_0^2 \cos^2 \theta_0}$

则抛体运动的射程为

$x_m = \frac{v_0^2 \sin 2\theta_0}{g}$

射高为

$y_m = \frac{v_0^2 \sin ^2\theta_0}{2g}$

当 $y = y_m$ 时， $x = \dfrac{1}{2}x_m$ ，即射程的一半。

1.3. 圆周运动 #

1.3.1. 切向加速度 #

$a_t = \dfrac{d v}{d t} e_t$

1.3.2. 法向加速度 #

$a_n = \dfrac{v^2}{R} e_n$

1.3.3. 角速度 #

$\omega = \lim\limits_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta \theta}{\Delta t}} = \dfrac{d \theta}{d t}$

1.3.4. 角加速度 #

$\alpha = \lim\limits_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta \omega}{\Delta t}} = \dfrac{d \omega}{d t}$

1.3.5. 线速度与角速度之间的关系 #

$v = R \omega$

1.3.6. 切向加速度与角加速度之间的关系 #

$a_t = R \alpha$

1.3.7. 法向加速度与角速度之间的关系 #

$a_n = \dfrac{v^2}{R} = v \omega = R \omega^2$

2. 牛顿运动定律及其应用 #

2.1. 牛顿第一定理 - 惯性定律 #

$\overrightarrow{v} = \text{恒矢量} (\overrightarrow{F} = 0)$

定义：任何物体，如果没有力作用在它上面，都将保持其速度。静止的仍然静止，运动的将做匀速直线运动。

2.2. 牛顿第二定律 #

$\overrightarrow{F} = m \overrightarrow{a}$

定义：质点的加速度与它所受的合力的方向向同，加速度的大小与它的质量成反比，与它所受的合力成正比。

$\overrightarrow{F} = \frac{d \overrightarrow{p}}{d t}$

定义：物体的动量对时间的变化率与所受的外力成正比，并发生在外力的方向上。

2.3. 牛顿第三定律 #

定义：物体间的作用力成对出现。通常成为作用力与反作用力。

$\overrightarrow F_{AB} = - \overrightarrow F_{BA}$

2.4. 解题步骤 #

选定对象，隔离物体
受力分析，画示力图
分析运动
选坐标系，列方程，求解未知量
检验与讨论

2.5. 几种常见的力 #

2.5.1. 重力 #

$F = mg$

2.5.2. 弹性力 #

$\overrightarrow{F} = -k\overrightarrow{x}$

$k$ 为劲度系数

2.5.3. 摩擦力 #

滑动摩擦力：当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接触面对它的阻力。其方向与滑动方向相反。

$f = u_k N$

静摩擦力：当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所受到接触面对它的阻力。其方向与相对滑动趋势方向相反。

$\overrightarrow{f} = -\overrightarrow{F}$

2.5.4. 惯性力 #

惯性力（Inertial force）的大小等于物体的质量 $m$ 和非惯性系加速度 $a$ 的乘积，但方向和 $a$ 相反。如果用 $F_i$ 表示惯性力，则

$F_i = -ma$

2.5.5. 万有引力 #

$F = \frac{GmM}{r^2}$