数学女孩 #

1. 概述 #

1.1. 内容简介 #

《数学女孩》以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探索数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的初等数学科普书”。内容涉及数列和数学模型、斐波那契数列、卷积、调和数、泰勒展开、巴塞尔问题、分拆数等，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读¹。

1.2. 作者简介 #

作者结城浩，日本资深技术作家和程序员。二十年来笔耕不辍，在编程语言、设计模式、数学、密码技术等领域，编写著作三十余本。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》等¹。

1.3. 人物简介 #

我：书中的主角，以第一人称视角对故事进行叙述，本文为了方便写作，下面就用男主来指代主角了。男主是一名高二学生，不喜欢运动，也没什么朋友，最喜欢的就是展开数学公式，总是在图书室一个人面朝笔记本写写算算。
米尔嘉：数学学霸，年级数学第一，但总分是第二，落后于都宫。高一与男主结识，两人经常一起讨论数学问题，经常用一流的解法打动男主。
泰朵拉：数学一般的活力少女，和男主在同一所初中毕业，比男主小一届，所以是高一学生，平时经常向男主发问。
都宫：年级第一，擅长体育，在书中出现较少。
村木老师：知识渊博的数学老师，有时候会给男主和米尔嘉出题，让他们自由思考。
盈盈：钢琴爱好者协会“最强音”的会长，偶尔会和米尔嘉一起练琴。

2. 第1章数列和数学模型 #

2.1. 故事情节 #

本章主要介绍了男主和米尔嘉的相遇过程，米尔嘉给男主念了几个数列，被男主接上了，两人就像对上了暗号，确认过眼神，都是搞数学的人。

2.2. 数列智力题没有正确答案 #

数列题提供的有限的几个数字，而数列本身是无限延续的，就像看起来很简单的 $1, 2, 3, 4 ,\cdots$ 这样的数列，我们很自然地会想到下一个数应该是 $5$ ，但其实后面的数也可以是 $10, 20, 30, 40,\cdots$ 满足下面的表达式

$a_n = [((x-1) \mod 4 ) + 1] * 10^{\lfloor(x / 4) \rfloor} , (n \in N_+) \tag{1.1}$

我们无法发现数列的规律，真正的数列模型是一眼看不出来的。如下面这个数列

$1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27, \cdots$

其答案可能是这样的

${\underbrace{2^0 3^0}_{\text{指数之和为0}}}, {\underbrace{2^1 3^0, 2^0 3^1}_{\text{指数之和为1}}} , {\underbrace{2^2 3^0, 2^1 3^1, 2^0 3^2}_{\text{指数之和为2}}} , {\underbrace{2^3 3^0, 2^2 3^1, 2^1 3^2, 2^0 3^3}_{\text{指数之和为3}}} , \cdots$

这就引出了后面的质数分解问题，即书中所说的“世界上只有两个质数”的话题。

3. 第2章一封名叫数学公式的情书 #

3.1. 故事情节 #

这一章主要讲述了男主和泰朵拉的相遇过程。男主收到一封来自泰朵拉的信，信中说到泰朵拉希望男主能够教她如何学好数学，于是两人相约在阶梯教室。

3.2. 所有约数之和 #

米尔嘉给男主出了一道题，题目如下

有一个正整数 $n$ 如何求出 $n$ 的所有约数之和？

符号定义：
用 $p_0, p_1, p_2, \dots, p_m$ 来表示质数
用 $a_0, a_1, a_2 \dots, a_m$ 来表示指数
$m + 1$ 表示将 $n$ 分解质因数后质因数的个数
男主的解法：
将正整数 $n$ 进行因式分解

假设 $p_0, p_1, p_2, \dots, p_m$ 为质数， $a_0, a_1, a_2 \dots, a_m$ 为正整数，则有

$n = p_0^{a_0} \times p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_m^{a_m} \tag{2.1}$

$n$ 的约数 $T_n$ 就可以表现为以下形式。

$T_n = p_0^{b_0} \times p_1^{b_1} \times p_2^{b_2} \times \dots \times p_m^{b_m} \tag{2.2}$

其中 $b_m$ 就是以下整数。

$b_0 = 0, 1, 2,3, \dots , a_0 \text{中的任意数}$

$b_1 = 0, 1, 2,3, \dots , a_1 \text{中的任意数}$

$b_m = 0, 1, 2,3, \dots , a_m \text{中的任意数}$

将公式 $2.2$ 展开，就可以得到公式 $2.3$ 。

${ \begin{aligned} T_n &= (1 + p_0 + p_0^2 + \dots + p_0^{a_0}) & \\ &\times (1 + p_1 + p_1^2 + \dots + p_1^{a_1}) &\\ &\times (1 + p_2 + p_2^2 + \dots + p_2^{a_2}) &\\ &\times \dots &\\ &\times (1 + p_m + p_m^2 + \dots + p_m^{a_m}) &\\ \end{aligned} } \tag{2.3}$

这个公式显然很不简洁，下面看米尔嘉的解答。

米尔嘉的解法：
将大于1的整数 $n$ 进行以下形式的质因数分解

$n = \prod_{k = 0}^m p_k^{a_k} \tag{2.4}$

假设 $p_k$ 为互不相同的质数， $a_k$ 为正整数。那么，此时 $n$ 的所有约数之和 $T_n$ 就可以用以下公式来求解。

${ \begin{aligned} T_n & = \prod_{k = 0}^m \sum_{i = 0}^m p_k^{a_i} & \\ & = \prod_{k = 0}^m \frac{1 - p_k^{a_k + 1}}{1 - p_k} & \\ \tag{2.5} \end{aligned} }$

Github：https://github.com/CurrenWong

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数学女孩 #

目录 #

1. 概述 #

1.1. 内容简介 #

1.2. 作者简介 #

1.3. 人物简介 #

2. 第1章数列和数学模型 #

2.1. 故事情节 #

2.2. 数列智力题没有正确答案 #

3. 第2章一封名叫数学公式的情书 #

3.1. 故事情节 #

3.2. 所有约数之和 #

4. 第3章 $\omega$ 的华尔兹 #

5. 第4章斐波那契数列和生成函数 #

6. 第5章基本不等式 #

7. 第6章在米尔嘉旁边 #

8. 第7章卷积 #

9. 第8章调和数 #

10. 第9章泰勒展开和巴塞尔问题 #

11. 第10章分拆数 #

12. 总结 #

12.1. 原书参考文献 #

12.2. 本文参考文献 #