第九章二重积分 #

1. 目录 #

第九章二重积分

2. 背景 #

前段时间复习完了高数第九章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

3. 二重积分的概念与性质 #

3.1. 二重积分的性质 #

3.1.1. 不等式性质 #

若在 $D$ 上 $f(x, y) \le g(x, y)$ ，则

$\iint_D {f(x, y)} d\sigma \le \iint_D {g(x, y)} d\sigma$

若在 $D$ 上 $m \le f(x, y) \le M$ ，则

$m\sigma \le \iint_D {f(x, y)} d\sigma \le M\sigma$

$|\iint_D {f(x, y)} d\sigma| \le \iint_D {|f(x, y)|} d\sigma$

3.1.2. 中值定理 #

设函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续， $\sigma$ 为区域 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$ ，使得

$\iint_D {f(x, y)} d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot \sigma$

4. 二重积分的计算 #

4.1. 利用直角坐标计算 #

先 $y$ 后 $x$

$\iint_D {f(x, y)} d\sigma = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) dy$

先 $x$ 后 $y$

$\iint_D {f(x, y)} d\sigma = \int_c^d dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) dx$

4.2. 利用极坐标计算 #

先 $\rho$ 后 $\theta$

$\iint_D {f(x, y)} d\sigma = \int_{\alpha}^{\beta} dx \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} f(\rho cos \theta, \rho sin \theta) dx$

适合用极坐标计算的二重积分的特性

适合用极坐标计算的二重积分的被积函数 $f(\sqrt{x^2 + y^2}), {f(\frac{y}{x})}, {f(\frac{x}{y})}$
适合用极坐标的积分域

如 $x^2 + y^2 \le R, r^2 \le x^2 + y^2 \le R^2, x^2 + y^2 \le 2ax, x^2 + y^2 \le 2bx$

4.3. 利用对称性和奇偶性计算 #

若积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称， $f(x, y)$ 关于 $x$ 有奇偶性，则

$\iint_D {f(x, y)} d\sigma = {\left\{ \begin{aligned} & 2 \iint_{D(x \ge 0)} {f(x, y)} d\sigma & , f(x, y) 关于 x 为偶函数 \\ & 0 &, f(x, y) 关于 x 为奇函数 \end{aligned}\right. }$

若积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称， $f(x, y)$ 关于 $y$ 有奇偶性，则

$\iint_D {f(x, y)} d\sigma = {\left\{ \begin{aligned} &2 \iint_{D(y \ge 0)} {f(x, y)} d\sigma & , f(x, y) 关于 y 为偶函数 \\ &0 &, f(x, y) 关于 y 为奇函数 \end{aligned}\right. }$

4.4. 利用变量对称性计算 #

若积分区域 $D$ 关于直线 $y = x$ 对称，则

$\iint_D {f(x, y)} d\sigma = \iint_D {f(y, x)} d\sigma$