第八章多元函数微分学 #

2. 背景 #

前段时间复习完了高数第八章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上有定义，点 $P_0(x_0, y_0) \in D$ 或为 $D$ 的边界点，如果 $\forall \epsilon > 0$ ，当 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，当 $P(x, y) \in D$ ，且 $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$ 时，都有

$|f(x) - A| < \varepsilon$

成立，则称常数 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时的极限，记为

$\lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)}{ f(x, y)} = A$

注1：这里的极限是要求点 $(x, y)$ 在 $D$ 内以任意方式趋近于点 $(x_0, y_0) 时，函数$ f(x, y) $都趋近于同一确定的常数$ A$，否则该极限就不存在。 注2：一元函数极限的下述性质对多元函数仍成立：1.局部有界性 2.保号性 3.有理运算 4.极限与无穷小的关系 5.夹逼性

4. 多元函数的连续性 #

4.1. 连续的概念 #

4.1.1. 定义 #

设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上有定义，点 $P(x_0, y_0) \in D$ ，如果

$\lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)}{ f(x, y)} = f(x_0, y_0)$

成立，则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 连续；如果 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的每个点 $(x, y)$ 处都连续，则称函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续。

4.2. 连续函数的性质 #

多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数
多元连续函数的复合函数也是连续函数
多元初等函数在其定义域内连续
最大值定理：有界闭区域 $D$ 上的连续函数在区域 $D$ 上必能取得最大值与最小值
介值定理：有界闭区域 $D$ 上的连续函数在区域 $D$ 上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

5. 偏导数 #

如果

$\lim\limits_{\Delta y \to 0}{\frac{f(x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}}$

存在，则称这个极限值为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处对 $y$ 的偏导数，记为

$\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\begin{array}{c} \small{x = x_0}\\ \small{y = y_0}\\ \end{array}} \text{或} f'_y(x_0, y_0)$

6. 全微分 #

6.1. 定义 #

如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处的全增量

$\Delta z = f(x + \Delta x , y + \Delta y) - f(x, y)$

可表示为

$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$

其中 $A, B$ 与 $\Delta x, \Delta y$ 无关， $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ ，则称 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，而 $A\Delta x + B\Delta y$ 称为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处的全微分，记为

$dz = A\Delta x + B \Delta y$

如果 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内的每一点 $(x, y)$ 都可微分，则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 内可微分。

6.2. 全微分存在的必要条件 #

如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，则称函数在点 $(x, y)$ 处的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} , \frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

6.3. 全微分存在的充分条件 #

如果 $z = f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} , \frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x, y)$ 处连续，则函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微。

6.4. 连续、可导、可微之间的关系 #

6.4.1. 在一元函数中 #

连续与可导
- 连续不一定可导
- 可导必定连续
连续与可微
- 连续不一定可微
- 可微必定连续
可导与可微(在一元函数中)
- 可微必定可导
- 可导必定可微
- 可导是可微的充分必要条件

6.4.2. 在多元函数中 #

连续与可导
- 连续不一定可导
- 可导不一定连续
连续与可微
- 连续不一定可微
- 可微必定连续
可导与可微
- 可微必定可导
- 可导不一定可微
可微与一阶偏导数连续
- 一阶偏导数连续必定可微
- 可微不一定一阶偏导数连续

7. 多元函数的微分法 #

7.1. 复合函数的微分法 #

设函数 $u = u(x, y), v = v(x, y)$ ，在点 $(x, y)$ 处有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 处有连续偏导数，则复合函数 $z = f[u(x, y), v(x, y)]$ 在 $x(x, y)$ 处的两个偏导数存在，且有

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$

7.2. 隐函数微分法 #

由方程 $F(x, y) = 0$ 确定的隐函数 $y = y(x)$

若函数 $F(x, y)$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 的某一邻域内有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0) = 0, F'_y(x_0, y_0) \ne 0$ ，则方程 $F(x, y) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数 $y = f(x)$ ，并有

$y' = -\frac{F'_x}{F'_y}$

由方程 $F(x, y, z) = 0$ 确定的隐函数 $z = z(x, y)$

若函数 $F(x, y, z)$ 在点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$ ， $F'_z(x_0, y_0, z_0) \ne 0$ ，则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数 $z = f(x, y)$ ，并有

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z}$

8. 多元函数的极值与最值 #

8.1. 无约束极值 #

定义

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点 $P(x, y)$ 均有

$f(x, y) \le f(x_0, y_0), or f(x, y) \ge f(x_0, y_0)$

则称 $(x_0, y_0)$ 为 $f(x, y)$ 的极大值点（或极小值点）；称 $f(x_0, y_0)$ 为 $f(x, y)$ 的极大值（或极小值）。极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

8.1.1. 极值的必要条件 #

设 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 存在偏导数，且 $(x_0, y_0)$ 为 $f(x, y)$ 的极值点，则

$f_x'(x_0, y_0) = 0, f_y'(x_0, y_0) = 0$

8.1.2. 极值的充分条件 #

设 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 有二阶连续偏导数，又 $f_x'(x_0, y_0) = 0, f_y'(x_0, y_0) = 0$ ，记

$A = f_{xx}''(x_0, y_0), B = f_{xy}''(x_0, y_0), C = f_{yy}''(x_0, y_0)$

则有下述结论：

若 $AC - B^2 > 0$ ，则 $f(x, y)$ 为极值点
1. $A < 0$ ，则 $(x_0, y_0)$ 不为 $f(x, y)$ 的极大值点
2. $A > 0$ ，则 $(x_0, y_0)$ 不为 $f(x, y)$ 的极小值点
若 $AC - B^2 < 0$ ，则 $(x_0, y_0)$ 不为 $f(x, y)$ 的极值点
若 $AC - B^2 = 0$ ，则 $(x_0, y_0)$ 可能为 $f(x, y)$ 的极值点，也可能不为 $f(x, y)$ 的极值点（此时，一般用定义判定）。

求具有二阶连续偏导数二元函数 $z = f(x, y)$ 极值的一般步骤为：

求出 $f(x, y)$ 的驻点 $P_1, \cdots, P_k$
利用极值的充分条件判定驻点 $P_i$ 是否为极值点

注：

二元函数 $z = f(x, y)$ 在偏导数不存在的点也可能取到极值（如 $f(x, y) = \sqrt{(x^2 + y^2)}$ ，而这种点是否取得极值一般用极值定义判定
二元函数 $z = f(x, y)$ 可能取得极值的点就两种，驻点和偏导数不存在的点

8.2. 条件极值及拉格朗日乘数法 #

求 $z = f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的条件极值的一般方法为：

构造拉格朗日函数 $F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi(x, y)$
将 $F(x, y, \lambda)$ 分别对 $x, y, \lambda$ 求偏导数，构造方程组

${\left\{ \begin{aligned} & f_x'(x, y) + \lambda \varphi_x'(x, y) = 0 & \\ & f_y'(x, y) + \lambda \varphi_y'(x, y) = 0 & \\ & \varphi (x, y) = 0 \end{aligned}\right. }$

解出 $x, y$ 及 $\lambda$ ，则其中 $(x, y)$ 就是函数 $f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的可能极值点。

以上方法可推广到对 $n$ 元函数在 $m$ 个约束条件下的极值问题。

8.3. 最大最小值 #

最大最小值常见有两种问题

求连续函数在有界闭区域上的最大最小值，常用如下方法，即三步曲。
1. 求 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部可能的极值点
2. 求 $f(x, y)$ 在边界上的最大最小值
3. 比较
应用题。首先将要求最大或最小的变量用一个多元函数表示出来，即建立目标函数 $z = f(x, y)$ ，然后按照1的三步曲求解。