第七章微分方程 #

1. 目录 #

第七章微分方程

2. 背景 #

前段时间复习完了高数第七章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

3. 一阶微分方程 #

3.1. 可分离变量的方程 #

能表示为 $g(y)dy = f(x)dx$ 的方程，称为可分离变量的方程。求解的方法是两端积分。

$\int g(y) dy = \int f(x) dx \tag{7.1}$

3.2. 齐次微分方程 #

能化为 $\dfrac{dy}{dx} = \varphi(\dfrac{y}{x})$ 的微分方程称为齐次微分方程。

求解齐次微分方程的一般方法为：令 $u = \dfrac{y}{x}$ ，则 $y' = u + xu'$ ，从而将原方程化为 $xu' = \varphi(u) - u$ ，此方程为可分离变量的方程。

3.3. 一阶线性微分方程 #

形如 $y' + p(x)y = Q(x)$ 的方程称为一阶线性微分方程。

求解一阶线性微分方程的一般方法为常数变易法，或直接利用以下通解公式。

$y = e^{-\int {p(x)} dx}[\int Q(x)e^{\int {p(x)}} dx + C] \tag{7.2}$

3.4. 伯努利方程 #

形如 $y' + p(x)y = Q(x)y^n$ 的方程 $(n \ne 0, 1)$ ，称为伯努利方程。

求解伯努利方程的一般方法为：令 $u = y^{1-n}$ ，将原方程化为一阶线性微分方程。

注：较少考察

3.5. 全微分方程 #

如果方程 $P(x, y) dx + Q(x, y)dy = 0$ 的左端是某个函数 $u(x, y)$ 的全微分

$du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy \tag{7.3}$

则称该方程为全微分方程，此方程的通解为

$u(x, y) = C$

求 $u(x, y)$ 有以下三种方法

偏积分
凑微分
线积分

当 $P(x, y), Q(x, y)$ 在单连通域 $G$ 内有一阶连续偏导数时，方程

$P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$

是全微方程的充要条件是

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \tag{7.4}$

注：较少考察

注：如果给定的一阶微分方程不属于上述五种标准形式，首先考虑将 $x, y$ 对调，即认定 $x$ 是 $y$ 的函数，再判定新方程的类型；或者利用简单的变量代换将其化为上述五中类型之一再求解

4. 可降阶的高阶方程 #

$y^{(n)} = f(x)$ 型的微分方程

多次积分即可

$y'' = f(x, y')$ 型的方程

只需令 $y' = p, y'' = p'$ ，可将原方程化为一阶微分方程

$y'' = f(y, y')$ 型的方程

只需令 $y' = p, y'' = p \dfrac{dp}{dy}$ ，可将原方程化为一阶微分方程。

5. 高阶线性微分方程 #

5.1. 线性微分方程解的结构 #

这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推广到更高阶的方程。二阶线性微分方程的一般形式为

$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \tag{7.5}$

这里的 $p(x), q(x), f(x)$ 均为连续函数。当方程右端的 $f(x) \equiv 0$ 时，称为二阶线性齐次方程，否则称为二阶线性非齐次方程。

齐次方程

$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \tag{7.6}$

非齐次方程

$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \tag{7.7}$

定理：如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程 $7.6$ 的两个线性无关的特解，那么

$y = C_1 y_1 (x) + C_2 y_2 (x) \tag{7.8}$

就是方程 $7.6$ 的通解。

定理：如果 $y^*$ 是非齐次方程 $7.7$ 的一个特解， $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程 $7.6$ 的两个线性无关的特解，则

$y = C_1 y_1 (x) + C_2 y_2 (x) + y^* \tag{7.9}$

定理：如果 $y_1^*(x), y_2^*(x)$ 是非齐次方程 $7.7$ 的两个线性无关的特解，则 $y(x) = y_2^*(x) - y_1^*(x)$ 是齐次微分方程 $7.6$ 的解。

定理：如果 $y_1^*$ ， $y_2^*$ 分别是方程

$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x)$

$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_2(x)$

的特解，则 $y_1^*(x) + y_2^*(x)$ 是方程

$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x) + f_2(x)$

的一个特解。

5.2. 常系数齐次线性微分方程 #

二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为

$y'' + py' + qy = 0 \tag{7.10}$

其特征方程为 $r^2 + pr + 1 = 0$ ，设 $r_1, r_2$ 为该方程的两个根。

若 $r_1 \ne r_2$ 为两个不相等的实特征根，则方程 $7.10$ 的通解为

$y = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} \tag{7.11}$

若 $r_1 = r_2$ 为二重实特征根，则方程 $7.10$ 的通解为

$y = (C_1 + C_2) e^{r_1x} \tag{7.12}$

若 $r_1 = \alpha + i \beta, r_2 = \alpha - i \beta$ 为一对共轭复根，则方程 $7.10$ 的通解为

$y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) \tag{7.13}$

5.3. 常系数非齐次线性微分方程 #

二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为

$y'' + py' + qy = f(x) \tag{7.14}$

若 $f(x) = P_m(x) e^{\lambda x}$ ，其中 $P_m(x)$ 为 $x$ 的 $m$ 次多项式，则方程 $7.14$ 的特解可设为

$y^* = x^k Q_m(x) e^{\lambda x} \tag{7.15}$

其中 $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的多项式， $k$ 是特征方程含根 $\lambda$ 的重复次数。

若 $f(x) = e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)\cos \beta x + P_n^{(2)}(x)\sin \beta x]$ ，其中 $P_l^{(1)}(x), P_n^{(2)}(x)$ 分别为 $x$ 的 $l$ 次， $n$ 次多项式，则方程 $7.14$ 的特解可设为

$y^* = x^k e^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos \beta x + R_m^{(2)}(x)\sin \beta x] \tag{7.16}$

其中 $R_m^{(1)}(x), R_m^{(2)}(x)$ 是两个 $m$ 次多项式， $m = \max\{l, n\}$

当 $\alpha + i\beta$ 不是方程 $7.14$ 的特征根时，取 $k = 0$ 。
当 $\alpha + i\beta$ 是方程 $7.14$ 的单特征根时，取 $k = 1$ 。

5.4. 欧拉方程 #

形如

$x^n y^{(n)} + p_1x^{n-1} y^{(n - 1)} + \cdots + p_{n-1} x y' + p_n y = f(x) \tag{7.17}$

（其中 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 为常数）的方程称为欧拉方程。

令 $x = e^t$ 或 $t = \ln x$ ，可将上述欧拉方程化为线性常系数方程，一般地有

$x^ky^{(k)} = D(D - 1)\cdots(D - k + 1)y \tag{7.18}$

其中 $D$ 代表对 $t$ 求导数的运算。

注：较少考察

6. 总结 #

本章的题目本身并不复杂，重要的是学会首先判断方程类型，其次熟练地使用对应的公式与技巧进行求解。