第五章 定积分与反常积分

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• 第五章 定积分与反常积分
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  • 1. 背景
  • 2. 定积分
    • 2.1. 定积分的定义
    • 2.2. 定积分存在的充分条件
    • 2.3. 定积分的性质
      • 2.3.1. 可加性
    • 2.4. 积分上限函数
    • 2.5. 定积分的计算
      • 2.5.1. 牛顿-莱布尼茨公式
      • 2.5.2. 换元积分法
      • 2.5.3. 分部积分法
      • 2.5.4. 利用奇偶性和周期性
      • 2.5.5. 利用已有公式
      • 2.5.6. 积分特殊解法
  • 3. 反常积分
    • 3.1. 无穷区间上的反常积分
    • 3.2. 无界函数的反常积分

1. 背景

前段时间复习完了高数第五章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 定积分

2.1. 定积分的定义

• 定义：

$$\int_a^{b} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}} \tag{5.1}$$

其中$\lambda = max\{\Delta x_i\}, i\in [1, n]$，$\xi_i$为在$[x_{i - 1}, x_i]$上任取的一点。

• 利用定积分求极限：

若积分$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx$ 存在，将$[0, 1]$区间等分，此时$\Delta x_i = \dfrac{1}{n}$， 取 $\xi_i = \dfrac{1}{n}$， 由定积分的定义得

$$\int_0^{1} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}} = \lim\limits_{n \to \infty}{f(\frac{i}{n})} \tag{5.2}$$

2.2. 定积分存在的充分条件

1. 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 必定存在。
2. 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 必定存在。
3. 若 $f(x)$ 只有有限个第一类间断点，则 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 必定存在。

2.3. 定积分的性质

2.3.1. 可加性

定积分具有区间可加性

$$\int_{a}^{b}f(x)d x=\int_{a}^{c}f(x)d x+\int_{c}^{b}f(x)d x$$

2.4. 积分上限函数

• 定义：

变上限的积分$\displaystyle \int_a^{b} {f(x)} dx$是其上限的函数，常称之为积分上限函数。

• 定理：

如果$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则

$$( \int_{a}^{x} f(t) dt )' = f(x) \tag{5.3}$$

如果$f(x)$为$[a, b]$上的连续函数，$\varphi_1(x), \varphi_2(x)$为可导函数，则

$$( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) dt )' = f[ \varphi_2(x) ] \cdot \varphi_2'(x) - f[ \varphi_1(x) ] \cdot \varphi_1'(x) \tag{5.4}$$

2.5. 定积分的计算

2.5.1. 牛顿-莱布尼茨公式

设$f(x)$在$[a, b]$上连续，$F(x)$为$f(x)$在$[a, b]$上的一个原函数，则有

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a) \tag{5.16}$$

2.5.2. 换元积分法

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，函数 $x = \varphi(x)$ 满足以下条件

1. $\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b$
2. $\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 或 $[\beta, \alpha]$ 上有连续导数，且 $R_\varphi \subseteq I$ 则

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt \tag{5.5}$$

2.5.3. 分部积分法

$$\int_{a}^{b} u dv = uv \Big|_a^b - \int_{a}^{b} v du \tag{5.6}$$

2.5.4. 利用奇偶性和周期性

1. 设 $f(x)$ 为 $[-a, a]$ 上的连续函数 $(a > 0)$，则

$$\int_{-a}^{a} f(x) dx = {\left\{ \begin{aligned} &0 & , f(x) \text{为奇函数时}\\ &2 \int_{0}^{a} f(x) dx & , f(x)\text{为偶函数时} \end{aligned}\right. } \tag{5.20}$$

1. 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任给数 $a$，总有

$$\int_{a}^{a + T} f(x) dx = \int_{0}^{T} f(x) dx \tag{5.21}$$

2.5.5. 利用已有公式

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x= \begin{cases}\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3}, & n \text { 为大于 } 1 \text { 的奇数 } \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text { 为偶数 }\end{cases} \tag{5.16}$$

$$ \int_{0}^{\pi} xf(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx ,\text{其中$f(x)$连续} \tag{5.17} $$

$$\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{\pi}{4} a^2 \tag{5.18}$$

$$\int_{0}^{a} \sqrt{2ax - x^2} dx = \frac{\pi}{4} a^2 \tag{5.19}$$

2.5.6. 积分特殊解法

对某些积分 $I = \int_{a}^{b} f(x) dx$ 难以处理时，有时通过变形将 $I$ 变为另一种形式 $I = \int_{a}^{b} g(x) dx$，然后把两者结合在一起

$$2I = \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] dx$$

2.5.6.1. 类型1

$$I = \int_{0}^{b} f(x) dx \overset{x = b - t}{=} \int_{0}^{b} f(b - t) dt = \int_{0}^{b} f(b - x) dx$$

与原式相加得

$$2I = \int_{0}^{b} [f(x) + f(b - x)] dx$$

2.5.6.2. 类型2

$$I = \int_{-a}^{a} f(x) dx \overset{x = - t}{=} \int_{-a}^{a} f(-t) dt$$

与原式相加得

$$2I = \int_{-a}^{a} [f(x) + f(-x)] dx$$

3. 反常积分

3.1. 无穷区间上的反常积分

定义：

1. 设 $f(x)$ 为 $[a, \infty]$ 上的连续函数，如果极限 $\displaystyle\lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx$ 存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 $[a, \infty]$ 上的反常积分，记作 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$，即

$$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx \tag{5.7}$$

这时也称反常积分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 发散。

1. 设 $f(x)$ 为 $[-\infty, b]$ 上的连续函数，则可类似的定义函数 $f(x)$ 在无穷区间$[-\infty, b]$ 上的反常积分

$$\int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx \tag{5.8}$$

1. 设 $f(x)$ 为 $[-\infty, +\infty]$ 上的连续函数，如果反常积分

$$\int_{-\infty}^{0} f(x) dx \text{和} \int_{0}^{+\infty} f(x) dx$$

都收敛，则称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，且

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{+\infty} f(x) dx \tag{5.9}$$

如果至少有一个发散，则称 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ 发散。

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常用结论：

$$\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p > 1 & , \text{收敛} \\ p \le 1 & , \text{发散} \\ \end{aligned}\right. }, (a>0) \tag{5.10}$$

3.2. 无界函数的反常积分

如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任一邻域内都无界，那么点 $a$ 称为 函数 $f(x)$ 的瑕点（也称为无界点）。无界函数的反常积分也称为瑕积分。

定义：

1. 设 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，点 $a$ 为函数的瑕点。如果极限 $\displaystyle\lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a, b]$ 上的反常积分，记作 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx$，即

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx \tag{5.11}$$

这时也称反常积分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ 发散。

1. 设 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上连续，点$b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点。则可类似的定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的反常积分

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx \tag{5.12}$$

1. 设 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上除 $c$ 点外连续，点$c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点。则可类似的定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的反常积分

$$\int_{a}^{c} f(x) dx \text{和} \int_{c}^{b} f(x) dx$$

都收敛，则称反常积分 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 收敛，且

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx \tag{5.13}$$

如果至少有一个发散，则称 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 发散。

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常用结论：

$$\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{发散} \\ p \ge 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. } \tag{5.14}$$

$$\int_{a}^{b} \frac{1}{(b-x)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{发散} \\ p \ge 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. } \tag{5.15}$$