第四章不定积分 #

1. 背景 #

前段时间复习完了高数第四章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 不定积分的概念与性质 #

2.1. 不定积分 #

定义

$f(x)$ 的原函数的全体成为 $f(x)$ 的不定积分，记为 $\int f(x)dx$ .

如果 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则有

$\int {f(x)}dx = F(x) + C \tag{4.1}$

其中 $C$ 为任意常数

2.2. 原函数存在定理 #

证明存在的定理

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一定存在原函数

证明不存在的定理

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有第一类间断点，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上没有原函数

2.3. 不定积分的性质 #

$(\int {f(x)}dx)' = f(x), d (\int {f(x)}dx) = f(x)dx \tag{4.2}$

$\int {f'(x)}dx = f(x) + C, \int d{f(x)}dx = f(x) + C \tag{4.3}$

$\int {f(x) \pm g(x)}dx = \int {f(x)}dx \pm \int {g(x)}dx \tag{4.4}$

$\int k{f(x)}dx = k \int {f(x)}dx, (k = C) \tag{4.5}$

3. 不定积分基本公式 #

$\int {0}dx = C \tag{4.6}$

$\int {x^a}dx = \frac{1}{a+1}x^{\alpha + 1} + C, (\alpha \ne -1) \tag{4.7}$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \tag{4.8}$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, (a > 0, a \ne 1) \tag{4.9}$

$\int e^x dx = e^x + C \tag{4.10}$

$\int \sin x dx = - \cos(x) + C \tag{4.11}$

$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C \tag{4.12}$

$\int \sec^2 x dx = \tan(x) + C \tag{4.13}$

$\int \csc^2 x dx = -\ctg x + C \tag{4.14}$

$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C \tag{4.15}$

$\int \csc x \ctg x dx = - \csc x + C \tag{4.16}$

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \arcsin x + C \tag{4.17}$

证明4.17： 凑微分法

${ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx &= \int \dfrac{dx}{a \sqrt{1 - (\dfrac{x}{a}})^2} dx \\ &= \int \frac{d (\dfrac{x}{a})}{\sqrt{1 - (\dfrac{x}{a}})^2} dx \\ &= \arcsin x + C \end{aligned} }$

$\int \frac{1}{{1 + x^2}}dx = \arctan x + C \tag{4.18}$

$\int \frac{1}{{a^2 + x^2}}dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \tag{4.19}$

$\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln|\frac{x-a}{x+a}| + C \tag{4.20}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln (x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C \tag{4.21}$

证明4.21： 第二类换元法，令 $x = a\tan t$

${ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx &= \int \frac{a\sec^2 t}{a \sec t} dt = \int \sec t dt \\ &= \ln |\sec t + \tan t| + C \\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| - \ln a+ C\\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C \end{aligned} }$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C \tag{4.22}$

证明4.22： 第二类换元法，令 $x = a\sec t$

${ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx &= \int \frac{a\sec t \tan t}{a \tan t} dt = \int \sec t dt \\ &= \ln |\sec t + \tan t| + C \\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| - \ln a+ C\\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C \end{aligned} }$

$\int {\sec x} dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \tag{4.23}$

证明4.23： 凑微分法

${ \begin{aligned} \int {\sec x} dx &= \int \frac{\sec x[\sec x + \tan x]}{\sec x + \tan x} dx &=& \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} dx \\ &= \int \frac{d(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x}\\ &= \ln |\sec x + \tan x| + C \end{aligned} }$

$\int {\csc x} dx = -\ln |\csc x + \ctg x| + C \tag{4.24}$

证明4.24： 凑微分法

${ \begin{aligned} \int {\csc x} dx &= \int \frac{\csc x[\csc x + \ctg x]}{\csc x + \ctg x} dx &=& \int \frac{\csc^2 x + \csc x \ctg x}{\csc x + \ctg x} dx \\ &= \int \frac{d(\csc x + \ctg x)}{\csc x + \ctg x}\\ &= \ln |\csc x + \ctg x| + C \end{aligned} }$

4. 三种主要积分法 #

4.1. 第一换元积分法 #

定理设 $\int f(u) du = F(u) + C$ , $u = \varphi(x)$ 存在连续导数，则

$\int f[\varphi(x)]\varphi '(x) dx = \int f[\varphi(x)] d\varphi x = F(\varphi(x)) + C \tag{4.25}$

4.2. 第二换元积分法 #

定理设 $x = \varphi (x)$ 是单调的、可导的函数，并且 $\varphi'(t) \ne 0$ ，又

$\int f[\varphi(t)]\varphi '(t) dt = F(\varphi(t)) + C$

则

$\int {f(x)} dx = \int f[\varphi(t)]\varphi '(t) dt = F(\varphi(t)) + C = F[\varphi^{-1}(x)] + C \tag{4.26}$

注：式中对 $\varphi (t)$ 求导的部分容易被遗漏

常用的三种变量代换
被积函数含有 $\sqrt{a^2 - x^2}$ ，令 $x = a\sin x$ （或 $a \cos x$ ).
被积函数含有 $\sqrt{x^2 + a^2}$ ，令 $x = a\tan x$ .
被积函数含有 $\sqrt{x^2 - a^2}$ ，令 $x = a\sec x$ .

4.3. 分部积分法 #

分部积分公式

$\int u dv = uv - \int v du \tag{4.27}$

分部积分法中 $u,v$ 的选取
把多项式以外的函数凑进微分号，因为对多项式求导若干次后能够将其化为常数项

$\int p_n(x)e^{\alpha x} dx, \int p_n(x)\sin \alpha x dx, \int p_n(x)\cos \alpha x dx$

把指数函数或三角函数凑进微分号都可以，但把指数凑进去更简单

$\int e^{\alpha x}\sin \beta x dx, \int e^{\alpha x}\cos \beta x$

把多项式凑进微分号，多项式以外的函数方便求导，不方便积分

$\int p_n(x)\ln x dx, \int p_n(x)\arctan x dx, \int p_n(x)\arcsin x dx$

5. 三类常见可积函数积分 #

5.1. 有理函数 #

有理函数积分 $\int R(x) dx$
一般方法（部分分式法）
特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂）

5.2. 三角有理式积分 #

三角有理式积分 $\int R(\sin x, \cos x) dx$
一般方法（万能代换）令 $\tan \dfrac{x}{2} = t$ .

$\int R(\sin x, \cos x) dx = \int R(\frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1 - t^2}{1 + t^2}) dt \tag{4.28}$

特殊方法（三角变形，换元，分解）
几种常用的换元法
若 $R(- \sin x, \cos x) = - R(\sin x, \cos x)$ ，则令 $u = \cos x$ ，或凑 $d\cos x$ .
若 $R(\sin x, - \cos x) = - R(\sin x, \cos x)$ ，则令 $u = \sin x$ ，或凑 $d\sin x$ .
若 $R(- \sin x, - \cos x) = R(\sin x, \cos x)$ ，则令 $u = \tan x$ ，或凑 $d\tan x$ .

凑微分法，形如

$\int{\frac{\sin\,\,x}{a\sin x + b\mathrm{cos}\cdot x}}{\mathrm{d}}x\,,\quad\int{\frac{\cos\,\,x}{a\sin x + b\mathrm{cos}\cdot x}}{\mathrm{d}}{{x}}$

的积分，可将分子分解成分母及其导数的和。

例如

$I=\int\frac{\mathrm{sin}\ x}{\mathrm{sin}\ x+\cos\ x}\mathrm{d}x$

$\sin x=\alpha(\sin x+\cos x)+\beta(\sin x+\cos x)^{\prime}\\ =(\alpha-\beta)\sin x+(\alpha+\beta)\cos x$

求解得到

$\alpha=\frac{1}{2},\beta=-\,\frac{1}{2}$

从而对积分进行求解

$I=\int\frac{\frac{1}{2}(\sin\,x+\cos\,x)}{\sin\,x+\cos\,x}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\,\frac{(\sin\,x+\cos\,x)^{\prime}}{\sin\,x+\cos\,x}\,\mathrm{d}x$

$={\frac{1}{2}}x-{\frac{1}{2}}\ln|\;\sin x+\cos\;x\;|+C$

5.3. 简单无理函数积分 #

简单无理函数积分 $\int R(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}) dx$

令 $\sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}} = t$ ，将其转化为有理函数积分进行计算

6. 补充 #

6.1. 常用积分 #

$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \ln|\frac{x - 1}{x + 1}| + C \tag{4.29}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 \sqrt{x} + C \tag{4.30}$

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x} &=\int \frac{\mathrm{d} \sin x}{1-\sin ^{2} x} \\ &=\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}\right) \mathrm{d} \sin x \\ &=\frac{1}{2} \ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C \\ &=\frac{1}{2} \ln \frac{(1+\sin x)^{2}}{\cos ^{2} x}+C \\ &=\ln \left|\frac{1}{\cos x}+\tan x\right|+C \end{aligned} \tag{4.39}$

$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin x} =\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|+C \\=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{(1-\cos x)^2}{1-\cos^2 x}\right|+C \\= \ln (1 - \cos x) - \ln |\sin x| \tag{4.40}$

6.2. 三角公式 #

$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = 2 \cos^2x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \tag{4.31}$

$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \tag{4.32}$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \tag{4.33}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \tag{4.34}$

6.3. 三次方公式 #

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \tag{4.35}$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \tag{4.36}$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \tag{4.37}$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \tag{4.38}$

7. 总结 #

两个概念
- 原函数
- 不定积分
三种方法
- 第一类换元法
- 第二类换元法
- 分部积分法
三种形式
- 有理函数
- 三角有理式
- 简单无理函数