第3章微分中值定理及导数应用 #

1. 背景 #

前段时间复习完了高数第三章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 微分中值定理 #

2.1. 费马引理 #

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值，那么 $f(x_0) = 0$ .

2.2. 罗尔定理 #

如果 $f(x)$ 满足以下条件

在闭区间 $[a, b]$ 上连续
在开区间 $(a, b)$ 内可导
$f(a) = f(b)$ ,

则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f'(\xi) \equiv 0$ .

罗尔定理

$\text{图1 罗尔定理}$

2.3. 拉格朗日中值定理 #

定义

如果 $f(x)$ 满足以下条件

在闭区间 $[a, b]$ 上连续
在开区间 $(a, b)$ 内可导，

则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) \tag{3.1}$

拉格朗日中值定理

$\text{图2 拉格朗日中值定理}$

证明

已知函数在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，构造辅助函数

$y = f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

可得 $g(a) = g(b)$ ，又因为 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $g'(\xi) = 0$ ，由此可得

$g'(\xi) = f'(\xi) - \dfrac{f(b)-f(a)}{(b-a)} = 0$

变形得

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$

定理证毕。

2.4. 柯西中值定理 #

定义

如果 $f(x), F(x)$ 满足以下条件

在闭区间 $[a, b]$ 上连续
在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $F'(x)$ 在 $(a, b)$ 内每一点均不为零，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得

$\frac{f'(\xi)}{F'(x)} = \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} \tag{3.2}$

柯西中值定理

$\text{图3 柯西中值定理}$

证明

要证明

$\frac{f'(\xi)}{F'(x)} = \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$

可转换为证明

$[f(b) - f(a)]F'(\xi) - [F(b) - F(a)]f'(\xi) = 0$

构造函数

$\varphi(x) = [f(b) - f(a)][F(x) - F(a)] - [F(b) - F(a)][f(x) - f(a)]$

$\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$ ，由罗尔定理可知，存在 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $\varphi'(\xi) = 0$ ，由此可得

$[f(b) - f(a)]F'(\xi) - [F(b) - F(a)]f'(\xi) = 0$

定理证毕。

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + o[(x - x_0)^n],x \in U{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) } \tag{3.3}$

常称 $R_0 = o(x - x_0)^n$ 为皮亚诺余项，若 $x_0 = 0$ ，则得麦克劳林公式

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}} + o(x^n),x \in U{ \left( {0} \right) } \tag{3.4}$

2.6. 拉格朗日型余项泰勒公式 #

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 有至 $n + 1$ 阶的导数，则当 $x \in (a, b)$ 时有

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + R_n(x) \tag{3.5}$

其中 $R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$ ，这里 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，称为拉格朗日余项。

2.7. 几个常用的泰勒公式（拉格朗日余项）#

$e^x = 1 + x + {x^2\over{2!}} + \cdots + {x^n\over{n!}} + \frac{e^{\theta x}}{(n + 1)!} x^{n + 1} \tag{3.6}$

$\sin(x) = x - {x^3\over{3!}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{2n-1}}\over{(2n)!}} + (-1)^{n} \frac{cos(\theta x)}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} \tag{3.7}$

$\cos(x) = 1 - {x^2\over{2!}} + \cdots + (-1)^{n}{{x^{2n}}\over{(2n)!}} + + (-1)^{n} \frac{cos(\theta x)}{(2n + 2)!}x^{2n + 2} \tag{3.8}$

$\ln(1 + x) = x - {x^2\over{2}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{n}\over{n}}} + (-1)^{n} \frac{x^{(n + 1)}}{(n + 1)(1 + \theta x)^{n + 1}} \tag{3.9}$

$\begin{aligned} (1 + x) ^ \alpha = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1)\over{2!} }x^2 + \cdots + {[\alpha!/(\alpha - n)!]\over{n!}}x^n + \\ \frac{[\alpha!/(\alpha - n - 1)!]}{(n + 1)!}(1 + \theta x) ^ {\alpha - n - 1}x^{n + 1} \tag{3.10} \end{aligned}$

2.8. 不等式的证明 #

基本不等式

$\sin(x) < x < \tan(x), x\in (0, \frac{\pi}{2}) \tag{3.11}$

$\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x, x\in (0, +\infty) \tag{3.12}$

证明方法
单调性

要证明不等式 $f(x) \ge g(x)$ ，在 $x \in [a, b]$ 区间恒成立，可转换为

$F(x) = f(x) - g(x) \ge 0 \tag{3.13}$

即证明在 $[a, b]$ 区间内

$F'(x) > 0, F(a) \le 0 \tag{3.14}$

可总结为通过证明构造出的函数 $F(x)$ 在闭区间内单调，且在端点值满足条件，从而证明不等式。

拉格朗日中值定理

要证明不等式

$\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) <x, (x > 0)$

步骤如下：

令 $f(x) = ln(x)$ ， $f(x)$ 满足在 $[1, 1+x]$ 上连续，在 $(1, 1+x)$ 内可导，则在 $(1, 1+x)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得

$\ln(1 + x) = \ln(1 + x) - \ln(1) = (1 + x - 1)f'(\xi) = \frac{x}{\xi}$

又因为 $1 < \xi < (1 + x)$ ，带入端点值则不等式得证。可总结为通过使用拉格朗日中值定理构造的函数

${(b - a)}f'(a) \le {(b - a)}f'(\xi) = {f(b)- f(a)} \le {(b - a)}f'(b)$

在端点值满足条件，从而证明不等式。

最大最小值

要证明不等式 $f(x) \ge g(x)$ ，在 $x \in [a, b]$ 区间恒成立，可转换为

$F(x) = f(x) - g(x) \ge 0$

即证明在 $[a, b]$ 区间内有一点 $x_0$ 满足

$F'(x_0) = 0, \lim\limits_{x \to -x_0}{f(x)} \cdot \lim\limits_{x \to +x_0}{f(x)} < 0$

即 $x_0$ 点为 $[a, b]$ 区间内的极值点，并证明 $x_0$ 点的值小于其他极小值点和端点值，即 $x_0$ 点为最小值点。同时

$f(x_0) \ge 0$

则不等式得证。可总结为通过证明最值点满足条件，从而证明不等式。

3. 导数应用 #

3.1. 函数的单调性 #

定理设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。

若在 $(a, b)$ 内 $f'(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调递增
若在 $(a, b)$ 内 $f'(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调递减

3.2. 函数的极值 #

3.3. 函数的最大值和最小值 #

3.4. 曲线的凹凸性 #

定义设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$ ，恒有

$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的，其二阶导数 $f(x)'' > 0$ ，如 $f(x) = x^2$ 。

如果恒有

$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$

则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的，其二阶导数 $f(x)'' < 0$ ，如 $f(x) = - x^2$ 。

拐点：凹凸区间的临界点，其二阶导数 $f(x_0)'' = 0$ 或不存在，二阶导数在 $x_0$ 附近异号，如 $f(x) = \sin(x)$ ，其二阶导数 $f(x)'' = -\sin(x) = 0$ ，且满足异号条件，则 $x_0 = 0 + k\pi, k \in Z$ 。

驻点：一阶导数为 $0$ 的点。

3.5. 曲线的渐近线 #

3.5.1. 渐近线的定义 #

渐近线
- 若点 $M$ 沿曲线 $y = f(x)$ 无限远离原点时，它与某条直线 $L$ 之间的距离将趋近于零，则称直线 $L$ 为曲线 $y = f(x)$ 的一条渐近线。
水平渐近线
- 若直线 $L$ 于 $x$ 轴平行，则称 $L$ 为曲线 $y= f(x)$ 的水平渐近线；
垂直渐近线
- 若直线 $L$ 于 $x$ 轴垂直，则称 $L$ 为曲线 $y = f(x)$ 的垂直渐近线；
斜渐近线
- 若曲线即不平行于 $x$ 轴，也不垂直于 $y$ 轴，则称直线 $L$ 为曲线 $y = f(x)$ 的斜渐近线。

3.5.2. 渐近线的求解 #

水平渐近线
- 若，那么是曲线的水平渐近线
  - 或 $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A$ .
  - 或 $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$ .
- 最多两条
垂直渐近线
- 若，那么是曲线的水平渐近线
  - 或 $\lim\limits_{x \to - x_0} f(x) = A$ .
  - 或 $\lim\limits_{x \to + x_0} f(x) = A$ .
- 最多无穷条
斜渐近线
- 若，且，那么是曲线的水平渐近线
  - 或 $\lim\limits_{x \to - \infty }(f(x) - ax) = b$ .
  - 或 $\lim\limits_{x \to + \infty }(f(x) - ax) = b$ .
- 最多两条，某方向若有水平渐近线，则无斜渐近线，若有斜渐近线，则无水平渐近线。
- 若一个曲线方程可以写为 $y = ax + b + \alpha(x)$ ，其中 $\alpha(x)$ 在 $x \to \infty$ 时为无穷小，则有斜渐近线 $y = ax + b$ .

3.6. 函数的作图 #

利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点及渐近线可以作出函数曲线。

步骤
求定义域，判断是否有无定义点
求 $y'$ ，判断单调性和极值
求 $y''$ ，判断曲线的凹凸性
求极限，判断渐近线
作图

3.7. 曲线的弧微分与曲率 #

弧微分
- 定义：设 $y = f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有连续导数，则有弧微分

$ds = \sqrt{1 + (y')^2}dx \tag{3.15}$

曲率
- 定义：设 $y = f(x)$ 有二阶导数，则有曲率

$K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} \tag{3.16}$

曲率半径
- 定义：称 $\rho = \dfrac{1}{K}$ 为曲率半径
曲率圆
- 定义：若曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x, y)$ 处的曲率为 $K(K \ne 0)$ ，在这点 $M$ 处曲线的法线上，在曲线凹的一侧取一点 $D$ ，使 $|DM| = \dfrac{1}{K} = \rho$ ，以 $D$ 为圆心， $\rho$ 为半径的圆成为曲线在点 $M$ 的曲率圆。
曲率中心
- 定义：曲率圆的圆心 $D$ ，称为曲线在点 $M$ 处的曲率中心。

4. 总结 #

微分中值定理
- 罗尔定理
- 拉格朗日中值定理
- 柯西中值定理
- 泰勒公式
导数应用
- 函数的单调性
- 函数的极值、最值
- 曲线的凹凸性和渐近线
- 弧微分与曲率