第二章 导数与微分

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• 第二章 导数与微分
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  • 1. 背景
  • 2. 导数与微分的概念
    • 2.1. 导数定义
    • 2.2. 导数与微分的概念
    • 2.3. 连续、可导、可微之间的关系
    • 2.4. 导数的几何意义
    • 2.5. 相关变化率
  • 3. 导数公式及求导法则
    • 3.1. 基本初等函数的导数公式
    • 3.2. 求导法则
      • 3.2.1. 有理运算法则
      • 3.2.2. 复合函数求导法
      • 3.2.3. 隐函数求导法
      • 3.2.4. 反函数的导数
      • 3.2.5. 参数方程求导法
      • 3.2.6. 对数求导法
      • 3.2.7. 分段函数求导
  • 4. 高阶导数
    • 4.1. 高阶导数的定义
    • 4.2. 常用的高阶导数公式
    • 4.3. 求高阶导数的方法
    • 4.4. 补充
  • 5. 总结
    • 5.1. 重点
    • 5.2. 知识卡片
      • 5.2.1. 基本初等函数的导数公式
      • 5.2.2. 常用的高阶导数公式

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1. 背景

前段时间复习完了高数第二章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 导数与微分的概念

2.1. 导数定义

$$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$$

也可定义为

$$\lim\limits_{ h \to 0}{\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}}$$

$$\lim\limits_{x \to x_0}{\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}$$

需要指出的是：

$$f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}$$

两者在数学上是等价的。

• 导数存在定理：

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可到的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且相等。

2.2. 导数与微分的概念

• 导数
  • 概念：函数在某一点的变化率
• 微分
  • 概念：函数值在某一点的改变量的近似值

2.3. 连续、可导、可微之间的关系

• 连续与可导

  • 连续不一定可导
  • 可导必定连续

• 连续与可微

  • 连续不一定可微
  • 可微必定连续

• 可导与可微(在一元函数中)

  • 可微必定可导
  • 可导必定可微
  • 可导是可微的充分必要条件

注：在多元函数中，可导（偏导）不一定可微，可导（偏导）也不一定连续

• 证明可导必可微

根据可导定义，令

$$\lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = A$$

则有

$$\lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y - A\Delta x}{\Delta x} = 0$$

即有$\Delta y - A\Delta x = o(\Delta x)$，故$\Delta y = A\Delta + o(\Delta x)$，其中$A$为常数，满足可微的定义，因此，可导必可微。

• 证明可微必可导

根据可微定义

$$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$$

则

$$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{A \Delta x + o(\Delta x)}{\Delta x} = A$$

导数存在，故满足可导的定义，因此可微必可导，且$f'(x) = A$.

• 常见错误
  • $f(x)$在某邻域可导
  • 不能推出$f'(x)$在$x_0$点连续
  • 不能推出$\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)$存在
  • 题型：第一章例$33$，考察洛必达法则的使用条件

2.4. 导数的几何意义

导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处切线的斜率。

注：法线的斜率是切线斜率的负倒数。

2.5. 相关变化率

• 定义

设$x = x(t)$及$y = y(t)$都是可导函数，而变量$x$与$y$之间存在某种关系，从而他们的变化率$\dfrac{dx}{dt}$与$\dfrac{dy}{dt}$之间也存在一定关系，这样两个相互依赖的变化率成为相关变化率

• 例题（第二章例$29$）

已知动点$P$在曲线$y = x^3$上运动，记坐标原点与点$P$间的距离为$l$。若点$P$的横坐标对时间的变化率为常数$v_0$，则当点$P$运动到点$(1, 1)$时，$l$对时间的变化率是$\underline{\hspace*{1cm}}$.

解：

已知$\dfrac{dx}{dv} = v_0$，$l = \sqrt{x^2 + x^6}$，则

$$\frac{dl}{dt} = \frac{dl}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{2x + 6x^5}{2\sqrt{x^2 + x^6}} \cdot v_0$$

带入数值$x = 1$，则

$$\frac{dl}{dt} = \frac{1 + 3}{\sqrt{2}}v_0 = 2\sqrt{2} v_0$$

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3. 导数公式及求导法则

3.1. 基本初等函数的导数公式

$$(C)' = 0 \tag{2.1}$$

$$(x^a)' = ax^{a-1} \tag{2.2}$$

$$(a^x)' = a^x\ln(a) \tag{2.3}$$

$$(e^x)' = e^x \tag{2.4}$$

$$(\log_a^x)' = \frac{1}{x\ln(a)} \tag{2.5}$$

$$(\ln \mid x \mid )' = \frac{1}{x} \tag{2.6}$$

$$(\sin x)' = \cos(x) \tag{2.7}$$

$$(\cos x)' = -\sin(x) \tag{2.8}$$

$$(\tan x )' = \sec^2(x) \tag{2.9}$$

$$(\cot x)' = - \csc^2(x) \tag{2.10}$$

$$(\sec x)' = \sec (x) \tan (x) \tag{2.11}$$

$$(\csc x)' = \csc(x) \cot (x) \tag{2.12}$$

$$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.13}$$

$$(\arccos x)' = \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.14}$$

$$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \tag{2.15}$$

$$(\arcctg x)' = \frac{-1}{1 - x^2} \tag{2.16}$$

$$(\arcsin \frac{x}{a} )' = \frac{1}{\sqrt{x - a^2}} \tag{2.36}$$

$$(\arccos \frac{x}{a} )' = \frac{-1}{\sqrt{x - a^2}} \tag{2.37}$$

$$( \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a})' = \frac{1}{a^2 + x^2} \tag{2.38}$$

$$(\frac{1}{a} \arcctg \frac{x}{a})' = \frac{-1}{a^2 - x^2} \tag{2.39}$$

注：$\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}$，$\csc(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}$

证明 $2.13$

利用反函数求导法则，设 $x = g(y) = \sin y$，$y = f(x)= \arcsin x$，$y' = \displaystyle\frac{1}{g(y)'} = \frac{1}{\cos y}$，又因为 $\cos y = \sqrt{1 - sin^2y} = \sqrt{1 - x^2}$，带入可得公式 $2.13$。

$2.14$ 至 $2.16$ 可使用相同方法证明。

$$\text{Figure 1. tan(x) and cot(x)}$$

$$\text{Figure 2. arctan(x) and arccot(x)}$$

$$\text{Figure 3. sec(x) and csc(x)}$$

3.2. 求导法则

3.2.1. 有理运算法则

设$u = u(x), v = v(x)$在$x$处可导，则

$$(u \pm v)' = u' \pm v' \tag{2.17}$$

$$(uv)' = u'v + uv' \tag{2.18}$$

$$(\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \tag{2.19}$$

3.2.2. 复合函数求导法

设$u = \varphi(x)$在$x$处可导，$y = f(u)$在对应点可导，则复合函数$y = f[\varphi(x)]$在$x$处可导，则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u)\varphi'(x) \tag{2.20}$$

• 推论

一个可导的奇（偶）函数，求一次导，其奇偶性发生一次变化

• 证明推论

• 若$f(x)$为奇函数。

$f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$,又根据复合函数求导法则，得到$f'(-x) = -f'(x)$，则

$$[f(-x)]' = -[-f(x)]' = [f(x)]'$$

即$f'(x)$为偶函数

1. 若$f(x)$为偶函数。

$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$,又根据复合函数求导法则，得到$f'(-x) = -f'(x)$，则

$$[f(-x)]' = -[f(x)]'$$

即$f'(x)$为奇函数

3.2.3. 隐函数求导法

设$y = y(x)$是由方程$F(x, y) = x$所确定的可导函数，为求得$y'$，可在方程$F(x, y) = 0$两边对$x$求导，可得到一个含有$y'$的方程，从中解出$y'$即可。

注：$y'$也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{F'_x}{F'_y} \tag{2.21}$$

3.2.4. 反函数的导数

若$y = f(x)$在某区间内可导，且$f'(x) \ne 0$，则其反函数$x = \varphi (x)$在对应区间内也可导，且

$$\varphi (y) = \frac{1}{f'(x)} \tag{2.22}$$

即

$$\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}$$

3.2.5. 参数方程求导法

设$y = y(x)$是由参数方程

$${\left\{ \begin{aligned} &x = \varphi (t)\\ &y = \psi (t)\\ \end{aligned}\right. }, (\alpha < t < \beta)$$

确定的函数，则

1. 若$\varphi (x)$和$\psi (x)$都可导，且$\varphi(t) \ne 0$，则

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} = \frac{dy / dt}{dx / dt} \tag{2.23}$$

1. 若$\varphi (t)$和$\psi (t)$都二阶可导，且$\varphi(t) \ne 0$，则

$$\frac{d^2 y}{d^2 x} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) / \frac{dx}{dt}= \frac{d}{dt}(\frac{\psi '(t)}{\varphi '(t)}) \cdot \frac{1}{\varphi '(t)} = \frac{\psi ''(t)\varphi '(x) - \varphi ''(t) \psi '(t)}{\varphi^3 (t)} \tag{2.24}$$

3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式

极坐标性质

$${\left\{ \begin{aligned} \rho^2 &= x^2 + y^2\\ \tan \theta &= \frac{y}{x} (x \ne 0)\\ \end{aligned}\right.} \tag{2.25}$$

极坐标转化为直角坐标的转化公式

$${\left\{ \begin{aligned} x = \rho \sin \theta\\ y = \rho \cos \theta\\ \end{aligned}\right.} \tag{2.26}$$

已知经过点$M(\rho_o, \theta_0)$，且直线与极轴所成角为$\alpha$的直线$l$，其极坐标方程为

$$\rho \sin (\alpha - \theta) = \rho_0 \sin(\alpha_0 - \theta_0)$$

即

$$\rho = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0)$$

转化为参数方程形式

$${\left\{ \begin{aligned} x = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \sin(\theta)\\ y = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \cos(\theta)\\ \end{aligned} \right.}$$

3.2.6. 对数求导法

如果$y = y(x)$的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数去对数，然后两边对$x$求导。

注：对等式两边取对数，需要满足等式两边都大于0的条件

3.2.7. 分段函数求导

求形如

$$f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{{{g(x)}\,,}}&{{x\neq x_{0}}} \\ {A} & {x = x_0}\end{array}\right.$$

的函数在分段点处的导数时，一般要用定义来求。

在函数分段点连续的条件下，也可以直接求导数的极限，即用下面定理求分段函数在分段点的导数。

1. $f(x)$ 在分段点 $x_0$处连续
2. $f(x_0)$ 在分段点 $x_0$ 的某空心邻域内可导
3. $\lim\limits_{x \to x_0}{f'(x)}$ 存在

则使得

$$\begin{array}{r}{f^{\prime}(x_{0})=\lim \limits_{x\to x_{0}}f^{\prime}(x)}\end{array}$$

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4. 高阶导数

4.1. 高阶导数的定义

含义：一般地，函数$y = f(x)$的$n$阶导数为$y^{(n)} = [f^{(n - 1)}(x)]'$，也可记为$f^{(n)}(x)$或$\dfrac{d^ny}{dx^n}$，即$n$阶导数就是$n-1$阶导函数的导数。

注：如果函数在点$x$处$n$阶可导，则在点$x$的某邻域内$f(x)$必定具有一切低于$n$阶的导数。

4.2. 常用的高阶导数公式

$$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.27}$$

$$(cos x)^{(n)} = \cos (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.28}$$

$$(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} \tag{2.29}$$

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)} \tag{2.30}$$

式2.24可类比$n$阶二项式公式

$$(u + v)^{n} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{k}v^{n-k} \tag{2.31}$$

• 推论

若$y= \sin(ax + b)$，则 $$y^{(n)} = a^n \sin(ax + b + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.32}$$

• 证明

通过归纳法，求$y'$和$y''$，推出$y^{(n)}$.

4.3. 求高阶导数的方法

1. 公式法，带入高阶导数公式
2. 归纳法，求$y'$，$y''$，归纳$y^{(n)}$

4.4. 补充

$$(x^u)^{(n)} = \frac{u!}{(u - n)!} x^{u - n} \tag{2.33}$$

当 $u = n$ 时，$(n \in Z^+)$，$(x^n)^{(n)} = n!$， $(x^n)^{(n + 1)} = 0$

$$\ln (1 + x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1 + x)^n} \tag{2.34}$$

$$(\frac{1}{1+ x})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(1 + x)^{n + 1}} (n \ge 1，0! = 1) \tag{2.35}$$

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5. 总结

5.1. 重点

1. 导数
   • 定义
   • 求导法则
   • 高阶导数
2. 微分
   • 定义
   • 微分与可导的关系
   • 微分方程求导

5.2. 知识卡片

5.2.1. 基本初等函数的导数公式

$$(C)' =$$

答案

$$ 0 \tag{2.1} $$

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$$(x^a)' =$$

答案

$$ ax^{a-1} \tag{2.2} $$

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$$(a^x)' =$$

答案

$$ a^x\ln(a) \tag{2.3} $$

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$$(e^x)' =$$

答案

$$ e^x \tag{2.4} $$

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$$(\log_a^x)' =$$

答案

$$ \frac{1}{x\ln(a)} \tag{2.5} $$

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$$(\ln \mid x \mid )' =$$

答案

$$ \frac{1}{x} \tag{2.6} $$

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$$(\sin x)' =$$

答案

$$ \cos(x) \tag{2.7} $$

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$$(\cos x)' =$$

答案

$$ -\sin(x) \tag{2.8} $$

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$$(\tan x )' =$$

答案

$$ \sec^2(x) \tag{2.9} $$

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$$(\cot x)' =$$

答案

$$ - \csc^2(x) \tag{2.10} $$

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$$(\sec x)' =$$

答案

$$ \sec (x) \tan (x) \tag{2.11} $$

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$$(\csc x)' =$$

答案

$$ \csc^2(x) \cot (x) \tag{2.12} $$

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$$(\arcsin x)' =$$

答案

$$ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.13} $$

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$$(\arccos x)' =$$

答案

$$ - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.14} $$

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$$(\arctan x)' =$$

答案

$$ \frac{1}{1 + x^2} \tag{2.15} $$

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$$(\arcctg x)' =$$

答案

$$ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.16} $$

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注：$\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}$，$\csc(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}$

5.2.2. 常用的高阶导数公式

$$(\sin x)^{(n)} =$$

答案

$$ \sin (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.27} $$

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$$(cos x)^{(n)} =$$

答案

$$ \cos (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.28} $$

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$$(u \pm v)^{(n)} =$$

答案

$$ u^{(n)} \pm v^{(n)} \tag{2.29} $$

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$$(uv)^{(n)} =$$

答案

$$ \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)} \tag{2.30} $$

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式2.24可类比$n$阶二项式公式

$$(u + v)^{n} =$$

答案

$$ \sum_{k=0}^n C_n^k u^{k}v^{n-k} \tag{2.31} $$

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• 推论

若$y= \sin(ax + b)$，则 $$y^{(n)} =$$

答案

$$ a^n \sin(ax + b + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.32} $$