第一章 函数 极限 连续

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• 第一章 函数 极限 连续
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  • 1. 背景
  • 2. 极限的存在准则
    • 2.1. 夹逼准则
    • 2.2. 单调有界准则
  • 3. 常用的求极限方法（8种）
    • 3.1. 方法1 用基本极限求极限
    • 3.2. 方法2 利用等价无穷小代换
    • 3.3. 方法3 利用有理运算法则求极限
    • 3.4. 方法4 利用洛必达法则求极限
    • 3.5. 方法5 利用泰勒公式求极限
    • 3.6. 方法6 利用夹逼原理求极限
    • 3.7. 方法7 利用单调有界准则求极限
    • 3.8. 方法8 利用定积分定义求极限（见第五章）
    • 3.9. 方法9 利用拉格朗日中指定理求极限
    • 3.10. 数列极限
    • 3.11. 倒代换
  • 4. 函数的连续性
    • 4.1. 连续的定义
    • 4.2. 间断点的定义
    • 4.3. 间断点的分类
    • 4.4. 闭区间上连续函数的性质
  • 5. 总结
    • 5.1. 重点
    • 5.2. 知识卡片
      • 5.2.1. 常用的基本极限
      • 5.2.2. 常用的等价无穷小
      • 5.2.3. 几个常用的泰勒公式
      • 5.2.4. 三角恒等变形

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1. 背景

前段时间复习完了高数第一章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 极限的存在准则

2.1. 夹逼准则

若存在$N$，当$n>N$时，$x_n \leq y_n \leq z_n$ ，且$\lim\limits_{{n\to \infty }}{x_n} = \lim\limits_{{n\to \infty }}{z_n} = a$，则 $\lim\limits_{{n\to \infty }}{y_n} = a$.

2.2. 单调有界准则

单调有界函数必有极限，即单调增（减）有上（下）界的函数必有极限。

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3. 常用的求极限方法（8种）

3.1. 方法1 用基本极限求极限

• 常用的基本极限

$$\lim_{{x\to 0 }}{\sin x\over{x}} = 1 \tag{1.1}$$

$$\lim_{{x\to 0 }}{(1+x)^{1\over{x}}} = e \tag{1.2}$$

$$\lim_{{x\to \infty }}{(1+{1\over{x}})^x} = e \tag{1.3}$$

$$\lim_{{x\to 0}}{{a^x - 1}\over{x}} = \ln{a} \tag{1.4}$$

$$\lim_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{n}}} = 1 \tag{1.5}$$

$$\lim_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a}}} = 1,(a>0) \tag{1.6}$$

$$\lim_{{x\to \infty }}{{{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}} + \cdots + a_1x + a_0 }\over{{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1}} + \cdots + b_1x + b_0}} = { \left\{ \begin{aligned} &{a_n\over{b_m}}, &n=m\\ &{0}, &n<m\\ &{\infty} , &n>m\\ \end{aligned}\right. } \tag{1.7}$$

注：趋向于无穷时看高次项，趋向于0时看低次项

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• $x\ln x$ 型极限

当 $\alpha > 0$ 时，

$$\lim\limits_{x \to 0^+}{x^\alpha \ln x} = 0 \tag{1.26}$$

$$\lim\limits_{x \to \infty}{ \frac{\ln x}{x^\alpha }} = 0 \tag{1.27}$$

• $1^{\infty}$ 型极限常用结论

若$\lim a(x) = 0, \lim \beta(x) = \infty$，且$\lim \alpha(x)\beta(x) = A$，则 $$\lim[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} = e^A$$

可以归纳为以下三步：

1. 写标准形式：原式 $=\lim[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)}$；
2. 求极限：$\lim\alpha(x)\beta(x) = A$；
3. 写结果：原式$=e^A$.

注意：只有当 $A$ 为常数，即 $\lim\alpha(x)\beta(x)$ 存在时才可以使用，例如 $f(x) = (1 + \frac{1}{n})^{n^2}$，$A = \infty$，则不能使用此结论

• $0 \times \infty$ 型极限常用结论

考虑使用变量替换（如 $t = \displaystyle\frac{1}{x}$）或者将 $\infty$ 提到分母处构造 $\displaystyle\frac{0}{0}$ 型极限，再使用等价无穷小或者洛必达法则求解。

• $\infty - \infty$ 型极限常用结论

• 创造分母

• 提取公因子无穷大，构造 $0 \times \infty$

3.2. 方法2 利用等价无穷小代换

• 常用的等价无穷小 当$x\to 0$时

$$x\sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(1+x) \sim e ^ x - 1 \tag{1.8}$$

$$(1 + x) ^ \alpha - 1\sim \alpha x \tag{1.9}$$

$$a^x - 1 \sim x\ln a \tag{1.10}$$

$$1 - \cos x \sim {1\over{2}} x ^ 2 \tag{1.11}$$

$$x - \ln(1+x) \sim {1\over{2}} x^2 \tag{1.12}$$

$$\tan x - x \sim {1\over{3}} x^3 \tag{1.13}$$

$$x - \arctan x \sim {1\over{3}} x^3 \tag{1.14}$$

$$x - sin x \sim {1\over{6}} x^3 \tag{1.15}$$

$$\arcsin x - x \sim {1\over{6}} x^3 \tag{1.16}$$

• 证明（1.8-1.16） 常用的等价无穷小都可以用洛必达法则证明

• 推论

$$1 - \cos^\alpha x \sim {\alpha\over{2}}x^2 \tag{1.17}$$

• 证明（1.17）

$${1 - [1 + (\cos x - 1)]^ \alpha} \sim \alpha(1 - \cos x) \sim {\alpha\over{2}}x^2$$

• 等价无穷小在加减中应用的条件：

设两等价无穷小 $\beta$ 和 $\gamma$，$\beta$ 和 $\gamma$ 的主部是 $c_{1} \alpha^{k_{1}} \text { 及 } c_{2} \alpha^{k_{2}}$。$k$ 表示无穷小的阶数。

当 $k_{1} \neq k_{2}$ 时, $\beta+\gamma$ 应该被 $c_{1} \alpha^{k_{1}}$ 和 $c_{2} \alpha^{k_{2}}$ 两者中的低次方代换。

当 $k_{1}=k_{2}, c_{1}+c_{2} \neq 0$ 时, $\beta+\gamma$ 可直接用等价代换。

当 $k_{1}=k_{2}, c_{1}+c_{2}=0$ 时, $\beta+\gamma$ 不可用等价代换。

3.3. 方法3 利用有理运算法则求极限

3.4. 方法4 利用洛必达法则求极限

• 使用条件
  • 若$f(x)n$阶可导
  • 则洛必达法则可使用至求出$f^{(n-1)}(x)$，即$f(x)$的$n-1$阶导数
  • 若$f(x)$有$n$阶连续导数
    • 则洛必达法则可使用至求出$f^{(n)}(x)$，即$f(x)$的$n$阶导数
  • 若$f(x)n$阶可导，且求出$f^{(n-1)}(x)$后极限仍为$\frac{0}{0}$型
    • 则考虑使用等价无穷小或导数定义

3.5. 方法5 利用泰勒公式求极限

• 定理（带$Peano$余项的泰勒公式） 设$f(x)$在$x = x_0$处$n$阶可导，则

$$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + o[(x - x_0)^n],x \in U{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) } \tag{1.18}$$

特别是当$x_0=0$时，为麦克劳林公式

$$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}} + o(x^n),x \in U{ \left( {0} \right) } \tag{1.19}$$

• 几个常用的泰勒公式

在 $x \to 0$ 时成立

$$e^x = 1 + x + {x^2\over{2!}} + \cdots + {x^n\over{n!}} + o(x^n) \tag{1.20}$$

$$\sin(x) = x - {x^3\over{3!}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{2n+1}}\over{(2n + 1)!}} + o(x^{2n+1}) \tag{1.21}$$

$$\cos(x) = 1 - {x^2\over{2!}} + \cdots + (-1)^{n}{{x^{2n}}\over{(2n)!}} + o(x^{2n}) \tag{1.22}$$

$$\ln(1 + x) = x - {x^2\over{2}} + \cdots + (-1)^{n}{{x^{n + 1}\over{n + 1}}} + o(x^{n + 1}) \tag{1.23}$$

$$(1 + x) ^ \alpha = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1)\over{2!} }x^2 + \cdots + {[\alpha!/(\alpha - n)!]\over{n!}}x^n + o(x^{n}) \tag{1.24}$$

$$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n) \tag{1.27}$$

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则当 $h \to 0$ 时

$$f(x_0 + h) =\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{{h}}\nolimits^{{n}}} + o(h^n),h \in U{ \left( {0} \right) } \tag{1.28}$$

即将 $x = x_0 + h$ 带入公式 $1.18$

3.6. 方法6 利用夹逼原理求极限

• 常用结论

$$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} = max\{a_i\} \tag{1.25}$$ 其中$a_i > 0, (i = 1, 2, \cdots, m)$

• 证明公式1.25

令$max\{a_i\} = a$，则 $$\sqrt[n]{a^n} < {\sqrt[{n}]{{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} < \sqrt[n]{ma^n}$$

$$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a^n}}} = a$$

$$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{ma^n}}} = a$$

根据夹逼准则

$$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} = max\{a_i\} \tag{1.26}$$

3.7. 方法7 利用单调有界准则求极限

• 基本不等式

$${2\over{{1\over{a}} + {1\over{b}}}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a ^ 2 + b ^ 2}{2}}$$

3.8. 方法8 利用定积分定义求极限（见第五章）

3.9. 方法9 利用拉格朗日中指定理求极限

设

$$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a \text {. }$$

求型如

$$I=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\left[f\left(y_{n}\right)-f\left(z_{n}\right)\right]$$

的数列极限（$\infty \cdot 0$ 型），可考虑用拉格朗日中值定理转化为求

$$I=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\left(y_{n}-z_{n}\right) \cdot f^{\prime}(\xi)$$

其中 $\xi$ 在 $y_n$ 与 $z_n$ 之间。

3.10. 数列极限

用 $x_n = f(x_{n-1})$ 表示的数列，若递推式的函数 $f^\prime(x) > 0$，则 $x_n$ 具有单调性。

再利用归纳法证明其有界性，则可设

$$\lim\limits_{x \to \infty}{x_n} = a$$

带入递推式求解。

3.11. 倒代换

当极限运算中存在多位 $\frac{1}{x}$ 使运算量增大时时，可以考虑使用倒代换 $t = \frac{1}{x}$ 简化计算。

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4. 函数的连续性

4.1. 连续的定义

• 连续的定义

设$y=f(x)$在点$x_0$的某领域内有定义，若$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) = f(x_0)}$则称$f(x)$在点$x_0$处连续。

• 左连续的定义

若$\lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)} = f(x_0)$ ，则称$y = f(x)$在点$x_0$处左连续。

• 右连续的定义

若$\lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)} = f(x_0)$ ，则称$y = f(x)$在点$x_0$处右连续。

• 定理

函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$既左连续又右连续。

4.2. 间断点的定义

按函数在一点处连续的定义，函数$f(x)$在点 $x_0$ 处连续，是指 $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)$，即需要 $f(x)$ 有定义；而要考虑极限 $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$，则需 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义作为前提条件．设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某空心邻域内有定义，且函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：

1. 在 $x=x_0$ 处没有定义；
2. 虽然在 $x=x_0$ 处有定义，但 $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$ 不存在，即$f(x_0^+), f(x_0^-))$之一不存在，或两者存在但不相等
3. 虽在 $x=x_0$ 处有定义，$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$存在，但 $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} \ne f(x_0)$， 则称函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处间断（不连续， $x_0$ 称为 $f(x)$ 的间断点，或不连续点

4.3. 间断点的分类

• 第一类间断点

  • 定义：左右极限都存在的间断点成为第一类间断点
    • 可去间断点
      • 定义：左右极限都存在且相等的间断点成为可去间断点
    • 跳跃间断点
      • 定义：左右极限都存在但不相等的间断点成为跳跃间断点

• 第二类间断点

  • 定义：左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点

    • 无穷间断点

      • 定义：若$\lim\limits_{x \to x_0^-} = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0^+} = \infty$， 则称$x_0$为$f(x)$的无穷间断点

    • 震荡间断点

      • 定义：左右极限振荡不存在的间断点，叫做振荡间断点，其中振荡是不可以解出的答案，极限完全不存在，如$sin \frac{1}{x}$.

    • 其他

注：在答题时，一般来说，第一类间断点需要说明是可去间断点还是跳跃间断点，如无特殊要求，第二类间断点只需要声明为第二类间断点。

4.4. 闭区间上连续函数的性质

• 最值定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则$f(x)$在$[a, b]$上必有最大值与最小值
• 有界性定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则在$[a, b]$上必有界
• 介值定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对于任意介于$f(a)$和$f(b)$之间的数$C$，至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使$f(\xi) = C$.
  • 推论：若$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则$f(x)$在$[a, b]$上可取到介于最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间的任何值
• 零点定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$，使$f(\xi) = 0$.

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5. 总结

5.1. 重点

1. 函数
   • 性质
   • 复合
2. 极限
   • 极限概念与性质
   • 求极限
   • 无穷小阶的比较
3. 连续
   • 间断点类型
   • 闭区间上连续函数的性质

5.2. 知识卡片

5.2.1. 常用的基本极限

$$\lim_{{x\to 0 }}{\sin x\over{x}} =$$

答案

$$1 \tag{1.1}$$

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$$\lim_{{x\to 0 }}{(1+x)^{1\over{x}}} =$$

答案

$$ e \tag{1.2}$$

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$$\lim_{{x\to \infty }}{(1+{1\over{x}})^x} =$$

答案

$$e$$

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$$\lim_{{x\to 0 }}{{a^x - 1}\over{x}} =$$

答案

$$\ln{a} \tag{1.4}$$

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$$\lim_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{n}}} =$$

答案

$$1 \tag{1.5}$$

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$$\lim_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a}}} =$$

答案

$$ 1,(a>0) \tag{1.6}$$

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$$\lim_{{x\to \infty }}{{{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}} + \cdots + a_1x + a_0 }\over{{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1}} + \cdots + b_1x + b_0}} =$$

答案

$$ { \left\{ \begin{aligned} &{a_n\over{b_m}}, &n=m\\ &{0}, &nm\\ \end{aligned}\right. } \tag{1.7} $$ _注：趋向于无穷时看高次项，趋向于0时看低次项_

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5.2.2. 常用的等价无穷小

当$x\to 0$时

$$x\sim$$

答案

$$\sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \ln(1+x) \sim e ^ x - 1 \tag{1.8}$$

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$$(1 + x) ^ \alpha - 1 \sim$$

答案

$$\alpha x \tag{1.9}$$

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$$a^x - 1 \sim$$

答案

$$x\ln a \tag{1.10}$$

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$$1 - \cos x \sim$$

答案

$${1\over{2}} x ^ 2 \tag{1.11}$$

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$$x - \ln(1+x) \sim$$

答案

$${1\over{2}} x^2 \tag{1.12}$$

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$$\tan x - x \sim$$

答案

$${1\over{3}} x^3 \tag{1.13}$$

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$$x - \arctan x \sim$$

答案

$${1\over{3}} x^3 \tag{1.14}$$

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$$x - sin x \sim$$

答案

$${1\over{6}} x^3 \tag{1.15}$$

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$$\arcsin x - x \sim$$

答案

$${1\over{6}} x^3 \tag{1.16}$$

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$$1 - \cos^\alpha x \sim$$

答案

$$ {\alpha\over{2}}x^2 \tag{1.17}$$

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5.2.3. 几个常用的泰勒公式

$$e^x =$$

答案

$$ 1 + x + {x^2\over{2!}} + \cdots + {x^n\over{n!}} + o(x^n) \tag{1.20} $$

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$$\sin(x) =$$

答案

$$ x - {x^3\over{3!}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{2n-1}}\over{(2n)!}} + o(x^{2n-1}) \tag{1.21} $$

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$$\cos(x) =$$

答案

$$ 1 - {x^2\over{2!}} + \cdots + (-1)^{n}{{x^{2n}}\over{(2n)!}} + o(x^{2n}) \tag{1.22} $$

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$$\ln(1 + x) =$$

答案

$$ x - {x^2\over{2}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{n}\over{n}}} + o(x^{n}) \tag{1.23} $$

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$$(1 + x) ^ \alpha =$$

答案

$$ 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1)\over{2!} }x^2 + \cdots + {[\alpha!/(\alpha - n)!]\over{n!}}x^n + o(x^n) \tag{1.24} $$

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5.2.4. 三角恒等变形

5.2.4.1. 基本公式

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1$$

$$1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$$

$$1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$$

5.2.4.2. 和差公式

$$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = 2 \cos^2x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x$$

$$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$$

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

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$$\sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$$

$$\cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = - \sin \alpha$$

$$\tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cot \alpha$$

$$\sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$$

$$\cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) =\sin \alpha$$

$$\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$$

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5.2.4.3. 和差化积公式

$$\sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$

$$\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$$

$$\cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$

$$\cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$$

5.2.4.4. 两角和（差）公式

$$\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan (\alpha \pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$$

5.2.4.5. 其它

$$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$

$$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$