第二章 导数与微分

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• 第二章 导数与微分
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  • 1. 导数
    • 1.1. 导数定义
    • 1.2. 导数计算
    • 1.3. 反函数求导
    • 1.4. 导数存在性定理

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1. 导数

1.1. 导数定义

1.1.1. 660题 - 28

设

$$f(x) = {\left\{ \begin{aligned} x^2 & , x \le 0 \\ x^{\alpha} \sin \frac{1}{x} & , x > 0 \\ \end{aligned}\right. }$$

若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\underline{\hspace*{1cm}}$;若$f'(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\underline{\hspace*{1cm}}$.

答案

$$ \alpha > 1, \alpha > 2 $$

1.1.2. 660题 - 29

设 $f(x)$ 是以 $3$ 为周期的可导函数且是偶函数，$f'(-2) = -1$, 则 $\lim\limits_{h \to 0}{\dfrac{h}{f(5 - 2 \sin h) - f(5)}} = \underline{\hspace*{1cm}}.$

答案

$$ -\frac{1}{2} $$

1.1.3. 660题 - 30

设 $f(x)$ 在 $x = 0$ 可导且 $f(0) = 1, f'(0) = 3$，则数列极限 $I = \lim\limits_{n \to \infty}{(f(\dfrac{1}{n}))^{\dfrac{\frac{1}{n}}{1 - \cos(\frac{1}{n})}}} = \underline{\hspace*{1cm}}$.

答案

$$ e^6 $$

1.1.4. 660题 - 31

设 $f(x)$ 在 $x = a$ 处二阶导数存在，则

$$I = \lim\limits_{h \to 0}{\dfrac{\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} - f'(a)}{h}} = \underline{\hspace*{1cm}}.$$

答案

$$ \frac{1}{2} f''(a) $$

1.1.5. 660题 - 150

设$f(x)$ 是以 $3$ 为周期的可导函数且 $f'(4) = 1$，则 $\lim\limits_{h \to 0}{\dfrac{f(1 + h) - f(1 - 3 \tan h)}{h}} = \underline{\hspace*{1cm}}$.

答案

$$ 4 $$

1.2. 导数计算

1.2.1. 660题 - 32

设 $f(x) = x^{\sin x} (x > 0)$，则 $f'(x) = \underline{\hspace*{1cm}}$.

答案

$$ f(x) = x^{\sin x} = e^{\sin x \cdot \ln x} $$ $$ f'(x) = e^{\sin x \cdot \ln x}(\sin x \cdot \ln x)' = x^{sinx}(\cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x}) $$

1.3. 反函数求导

1.3.1. 660题 - 36

设 $y = x + e^x$，则其反函数的二阶导数 $\dfrac{d^2{x}}{dy^2} = \underline{\hspace*{1cm}}$.

答案

$$ -\frac{e^x}{(1 + e^x)^3} $$

1.4. 导数存在性定理

设 $f(x) = |x| \sin^2 x$ ，则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n = \underline{\hspace*{1cm}}$.

答案

$$ 2 $$