第一章函数极限连续错题 #

1. 极限 #

1.2. 求极限 #

1.2.1. 660题 - 7

$I= \lim\limits_{x \to 0}{\frac{(1-\sqrt[]{\cos x}) (1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots (1-\sqrt[n]{\cos x})} {(1 - \cos x)^{n-1}}} = \underline{\hspace*{1cm}}.$

注意：此处不能使用夹逼准则

答案

$$ n! $$

分析

方法一：用等价无穷小代换 $$ \sqrt[n]{1 + x} - 1 = (1 + x)^{\frac{1}{m} - 1} \sim \frac{x}{m}(x \to 0) $$ 得 $$ \sqrt[n]{\cos x} - 1 = \sqrt[n]{1 + \cos x - 1} - 1 \sim \frac{\cos x - 1}{m}(x \to 0) $$ 对原式进行拆项 $$ {\begin{aligned} I =& \lim\limits_{x \to 0}{(\frac{\sqrt[]{(\cos x - 1) + 1} - 1}{\cos x - 1})} \times \lim\limits_{x \to 0}{(\frac{\sqrt[3]{(\cos x - 1) + 1} - 1}{\cos x - 1})} \times \cdots \\ &\times \lim\limits_{x \to 0}{(\frac{\sqrt[n]{(\cos x - 1) + 1} - 1}{\cos x - 1})} \\ =& \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\dfrac{1}{2}(\cos x - 1)}{(\cos x - 1)} } \times {\frac{\dfrac{1}{3}(\cos x - 1)}{(\cos x - 1)} } \times \cdots {\frac{\dfrac{1}{n}(\cos x - 1)}{(\cos x - 1)} } \\ =& \lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \cdots \times \frac{1}{n}} = n ! \\ \end{aligned} } $$ 方法二：使用洛必达法则

1.3. 幂指型求极限 #

1.3.1. 660题 - 8

$I = \lim\limits_{x \to \infty}{(e^{x^2} + x^3)^{\frac{1}{x^2}}} = \underline{\hspace*{1cm}}.$

注意：此处为 $\infty^0$ 型极限，不能直接当作 $1^\infty$ 型极限使用重要极限二进行求解

答案

$$e$$

分析

这是$\infty^0$型极限，先作恒等变形，转换为$1^\infty$型极限 $$ I = \lim\limits_{x \to \infty}{(e^{x^2} +(1 + \frac{x^3}{e^{x^2}}))^{\dfrac{1}{x^2}}} = e \lim\limits_{x \to \infty}{e^{\dfrac{1}{x^2} \ln (1 + \dfrac{x^3}{e^{x^2}})}} $$ 又 $$ { \begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty}{{\dfrac{1}{x^2} \ln (1 + \dfrac{x^3}{e^{x^2}})}} \xlongequal[\text{因子替换}]{\text{等价无穷小}} \lim\limits_{x \to \infty}{{ (\dfrac{1}{x^2} \cdot \dfrac{x^3}{e^{x^2}})}} & \\ =& \lim\limits_{x \to \infty}{\frac{x}{e^{x^2}}} \xlongequal[\text{洛必达法则}]{\dfrac{\infty}{\infty}} \lim\limits_{x \to \infty}{\frac{1}{2xe^{x^2}}} = 0& \\ \end{aligned} } $$ 其中 $$ \ln(1 + \frac{x^3}{e^{x^2}}) \sim \frac{x^3}{e^{x^2}}(x \to \infty) $$ 因此 $$ I = e \cdot e^0 = e $$

1.4. 已知极限求参数 #

1.4.1. 660题 - 134

已知

$I = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{ax^2 + bx + 1 - e^{x^2 - 2x}}{x^2}} = 2$

则 $a = \underline{\hspace*{1cm}}, b = \underline{\hspace*{1cm}}$ .

答案

$$ a = 5, b = -2 $$

1.5. 同阶无穷小 #

1.5.1. 660题 - 21

已知当 $x \to 0$ 时 $F(x) = \int_0^{x - \sin(x)} \ln (1 + t) dt$ 是 $x^n$ 的同阶无穷小，则 $n= \underline{\hspace*{1cm}}.$

注意：对变上限积分进行求导时，不能忽略对上限的求导

答案

$$ (-\infty, +\infty) $$

1.5.2. 660题 - 138

当 $x \to 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是 $\underline{\hspace*{1cm}}$ .

A. $(1 + x)^{x^2}$

B. $e^{x^4 - 2x} - 1$

C. $\int_{0}^{x^2} \sin t^2 dt$

D. $\sqrt[]{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}$

答案

$$ A $$ A选项3阶，B选项1阶，C选项6阶，D选项2阶

1.6. 数列极限与递推关系 #

1.6.1. 660题 - 19

设 $x_0 = 0, x_n = \dfrac{1 + 2x_{n - 1}}{1 + x_{n - 1}}(n = 1, 2, 3, \cdots)$ ，则 $\lim\limits_{x \to \infty}{x_n} = \underline{\hspace*{1cm}}$ .

注意： $f(x) \le a$ 表示 $a$ 为函数的上界，不能说明 $a$ 为函数的极限

答案

$$ \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2} $$

分析

显然 $$ 0 < x_n \frac{2(1 + x_{n - 1})}{1 + x_{n - 1}} = 2 - \frac{1}{1 + x_{n - 1}} < 2 \hspace*{0.5cm} (n = 1, 2, 3, \cdots) $$ 即$x_n$有界。 $$ { \begin{aligned} \text{令}f(x) =& 2 - \frac{1}{1 + x} \Rightarrow f(x) \nearrow (x \ge 0) & \\ \Rightarrow & x_{n - 1} = f(x) (n = 1,2,3, \cdots) \text{单调}& \\ \end{aligned} } $$ 因此$x_n$收敛，记$ \lim\limits_{x \to \infty}{x_n} = a $. 对递归方程$x_n = \dfrac{1 + 2x_n}{1 + x_{n - 1}} $ 两边取极限得 $$ a = \frac{1 + 2a}{1 + a} $$ 即$a^2 - a - 1 = 0$，解得$a = \dfrac{1 + \sqrt[]{5}}{2}$

1.6.2. 交叉考点链接

660题 - 25 (函数连续)

1.7. 泰勒公式求极限 #

1.7.1. 660题 - 133

$\lim\limits_{x \to \infty}{\dfrac{(1 + \dfrac{1}{x})^{x^2}}{e^x}} = \underline{\hspace*{1cm}}.$

答案

$$ e^{- \frac{1}{2}} $$

2. 函数的连续性 #

2.1. 函数连续 #

2.1.1. 660题 - 25

设 $f(x) = \lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{x + x^2e^{nx}}{1 + e^{nx}}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\underline{\hspace*{1cm}}$ .

注意： $e^x$ 函数在趋向于正无穷和负无穷时极限不相同

答案

$$ 6 $$