第五章 特征值与特征向量

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• 第五章 特征值与特征向量
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  • 1. 背景
  • 2. 特征值、特征向量
    • 2.1. 特征值定义
    • 2.2. 特征方程定义
    • 2.3. 定理1
    • 2.4. 定理2
    • 2.5. 定理3
  • 3. 相似矩阵
    • 3.1. 相似矩阵定义
    • 3.2. 相似矩阵性质
    • 3.3. 定理4
      • 3.3.1. 推论
    • 3.4. 定理5
    • 3.5. 解题步骤
  • 4. 实对称矩阵
    • 4.1. 定理6
    • 4.2. 定理7
    • 4.3. 定理8
    • 4.4. 解题步骤

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1. 背景

前段时间复习完了线代第五章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 特征值、特征向量

2.1. 特征值定义

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在一个数 $\lambda$ 及非零的 $n$ 维列向量 $\alpha$，使得

$$A \alpha = \lambda \alpha$$

成立，则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，称非零向量 $\alpha$ 是矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量。

由定义 $A \alpha = \lambda \alpha, \alpha \ne 0$，即 $(\lambda E - A) \alpha = 0, \alpha \ne 0$ 可见特征值向量 $\alpha$ 是齐次方程组 $(\lambda E - A) x = 0$ 的非零解。

2.2. 特征方程定义

设 $A = [a_{ij}]$ 为一个 $n$ 阶矩阵，则行列式

$$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix}$$

称为矩阵的多项式，$|\lambda E - A| = 0$ 称为 $A$ 的特征方程。

求特征值，特征向量的方法：

1. 先由 $|\lambda E - A| = 0$ 求矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_i$ (共 $n$ 个)。再由 $(\lambda_i E - A)x = 0$ 求基础解系，即矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda_i$ 的线性无关的特征向量。
2. 用定理 $A\alpha = \lambda \alpha$ 推理分析。

2.3. 定理1

如果 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t$ 都是矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 的特征向量，那么当 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_t \alpha_t$ 非零时，$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_t \alpha_t$ 仍是矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

2.4. 定理2

如果 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 是矩阵 $A$ 的互不相同的特征值，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 分别是与之对应的特征向量，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关。

2.5. 定理3

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是矩阵 $A$ 的特征值。

则

1. $\sum \lambda_i = \sum a_{ii}$
2. $|A| = \prod \lambda_i$

3. 相似矩阵

3.1. 相似矩阵定义

设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1} AP = B$，则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或 $A$ 相似于 $B$，记成 $A \sim B$。

若 $A \sim \Lambda$，其中 $\Lambda$ 是对角阵，则称 $A$ 可相似对角化。$\Lambda$ 是 $A$ 的相似标准形。

3.2. 相似矩阵性质

根据相似的定义，可知

1. $A \sim A$ 反身性
2. 若 $A \sim B \rArr B \sim A$，对称性
3. 若 $A \sim B, B \sim C \rArr A \sim C$，传递性

两个矩阵相似的必要条件

$A \sim B 则

1. 特征多项式相同，即 $|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$
2. $r(A) = r(B)$
3. $A, B$有相同的特征值
4. $|A| = |B| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$ ($\lambda_i$为特征值)
5. $\sum_{i=1}^n a_{ii} = \sum_{i=1}^n b_{ii} = \sum_{i=1}^n \lambda_i$

3.3. 定理4

$n$ 阶方阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

3.3.1. 推论

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$，则 $A$ 可相似对角化，且

$$A \sim \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n\end{bmatrix}$$

3.4. 定理5

$n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的充分必要条件是 $A$ 的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于特征值的重数，即

$A \sim \Lambda \lrArr \lambda_i$ 是 $A$ 的 $n_i$ 重特征值，则 $\lambda_i$ 有 $n_i$ 个线性无关的特征向量

$\lrArr$ 秩 $r(\lambda_i E - A) = n - n_i$，$\lambda_i$ 为 $n_i$ 重特征值。

3.5. 解题步骤

“求可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP = \Lambda$” 解题步骤：

1. 求出矩阵 $A$ （设为三阶）的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$（可以有重根）
2. 求出线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
3. 构造可逆矩阵 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，则有

$$P^{-1}AP = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_n\end{bmatrix}$$

注意：由 $A \alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1, A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2, A\alpha_3 = \lambda_3 \alpha_3$

4. 实对称矩阵

4.1. 定理6

实对称矩阵必可相似对角化。

4.2. 定理7

实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交。

4.3. 定理8

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则必存在正交阵 $Q$，使得 $Q^{-1}AQ = Q^T AQ = \Lambda$

4.4. 解题步骤

实对称矩阵用正交矩阵相似对角化解题步骤

1. 求出矩阵 $A$ （设为三阶）的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$
2. 求出相应的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$

3. 改造特征向量

4. 如果特征值不同，特征向量已正交，只需单位化，记为 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$

5. 如果特征值有重根，要先判断特征向量是否已正交？

6. 若已正交则只需单位化；若不正交则要正交化处理，记为$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$

7. 把上述特征向量 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 构成正交矩阵 $Q= (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)$

即有 $$Q^{-1} AQ = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_n\end{bmatrix}$$