第四章 线性方程组

目录

• 第四章 线性方程组
  • 目录
  • 1. 背景
  • 2. 基本概念
  • 3. 齐次线性方程组
    • 3.1. 定义
    • 3.2. 基础解系
    • 3.3. 解的性质
    • 3.4. 定理1
    • 3.5. 定理2
    • 3.6. 定理3
  • 4. 非齐次线性方程组
    • 4.1. 解的性质
    • 4.2. 定理4
    • 4.3. 定理5
  • 5. 公共解、同解
  • 6. 方程组的应用

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1. 背景

前段时间复习完了线代第四章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 基本概念

我们称

$${\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{aligned}\right. } (I)$$

是 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的非齐次线性方程组，其中 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 代表 $n$ 个未知数，而 $b_1, b_2, \cdots, b_m$ 是不全为 $0$ 的常数。

利用矩阵乘法，方程组 $(I)$ 可表示法：

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$$

于是方程组 $(I)$ 的矩阵形式

$$Ax = b$$

称 $A$ 为方程组 $(I)$ 的系数矩阵。

对矩阵 $A$ 按列分块，记 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$ 则方程组 $(I)$ 有向量形式。

$$x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_n \alpha_n = \beta$$

其中 $\alpha_j = (a_{1j}, a_{2j}, \cdots, a_{mj})^T, j = 1,2, \cdots, n, \beta = (b_1, b_2, \cdots, b_m)^T$

如果 $\forall j = 1, 2, \cdots, m$ 恒有 $b_j = 0$，则称

$${\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \\ \end{aligned}\right. } (II)$$

为齐次线性方程组（也称 $(II)$ 是 $(I)$的导出组），其矩阵形式为：

$$Ax = 0$$

而齐次线性方程组$(II)$的向量形式，则是

$$x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_n \alpha_n = 0$$

若将一组数 $c_1, c_2 \cdots, c_n$ 分别代替方程组 $(I)$或$(II)$中的 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 使$(I)$ 或 $(II)$ 中 $m$ 个等式都成立，则称 $(c_1, c_2, \cdots, c_n)^T$ 是方程组 $(I)$ 或 $(II)$ 的一个解。

解方程组就是要求出方程组所有的解。

求方程组的解就是要对所给方程组作同解变形，而同解变形的方法：

1. 两个方程组互换位置
2. 用非零常数乘方程的两端
3. 把某个方程的 $k$ 倍加到另一个方程上

同解变形所对应的矩阵语言就是矩阵的初等行变换。

3. 齐次线性方程组

3.1. 定义

对于齐次线性方程组

$${\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \\ \end{aligned}\right. } (II)$$

易见 $x_1= 0, x_2 = 0, \cdots, x_n = 0$ 必满足每一个方程。故 $(0, 0, \cdots, 0)^T$一定是齐次线性方程组的一个解，称其为零解。除去零解之外，如果齐次线性方程组还有其它的解。那些解就称为非零解。

3.2. 基础解系

如果 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_t$ 是齐次方程组 $Ax = 0$ 的解，而且满足

1. $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_t$ 线性无关
2. $Ax = 0$ 的任一个解 $\eta$ 都可由 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_t$ 线性表出

则称 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_t$ 是 $Ax = 0$ 的一个基础解系。

3.3. 解的性质

如果 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_t$ 是齐次方程组 $Ax = 0$ 的解，则对任意常数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$

$$k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \cdots + k_t \eta_t$$

仍是齐次方程组的解。

3.4. 定理1

齐次方程组 $A_{m \times n} x = 0$ 有非零解 $\lrArr r(A) < n.$

推论

1. 当 $m < n$ 时， $Ax = 0$ 必有非零解。
2. 当 $m = n$ 时，$Ax = 0$ 有非零解 $\lrArr |A| = 0$。

3.5. 定理2

如齐次线性方程组 $(II)$ 系数矩阵的秩 $r(A) = r < n$ 则 $(II)$ 有 $n - r$ 个线性无关的解，且 $(II)$ 的任一个解都可由这 $n - r$ 个线性无关的解线性表出（即 $(II)$ 的基础解系由 $n-r$ 个解向量构成）。

3.6. 定理3

若 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_t$ 是齐次方程组 $(II)$ 的基础解系，则 $(II)$ 的通解是 $k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \cdots + k_t \eta_t, k_1, k_2, \cdots, k_t$ 是任意常数。

4. 非齐次线性方程组

4.1. 解的性质

1. 设 $\xi_1, \xi_2$ 是方程组 $Ax = b$ 的两个解，则 $\xi_1 - \xi_2$ 是导出组 $Ax = 0$ 的解
2. 设 $\xi$ 是方程组 $Ax = b$ 的解，$\eta$ 是导出组 $Ax = 0$ 的解，$k$是任意常数，则 $\xi + k \eta$ 是方程组 $Ax = b$ 的解。

4.2. 定理4

$Ax = b$ 有解 $\lrArr r(A) = r(\bar{A}) \lrArr b$ 可由 $A$ 的列向量线性表出。

$Ax = b$ 无解 $\lrArr r(A) + 1 = r(\bar{A})$

注：$\bar{A} = [A, b]$ 称为方程组 $Ax = b$ 的增广矩阵。

4.3. 定理5

（解的结构）设 $\alpha$ 是 $Ax = b$ 的解，$\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_t$ 是导出组 $Ax = 0$ 的基础解系，则方程组 $Ax = b$ 的通解为

$$\alpha + k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \cdots + k_t \eta_t$$

其中 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ 是任意常数。

5. 公共解、同解

6. 方程组的应用