第三章向量 #

向量组 $\epsilon_1 = (1, 0, \cdots, 0)$ ， $\epsilon_2 = (0, 1, 0, \cdots, 0)$ ， $\cdots$ ， $\epsilon_n = (0, 0, , \cdots, 0, 1)$ 是线性无关的，单个向量是非零向量时，是线性无关的；两个向量不成比例时，是线性无关的。

3.3. 定理1 线性表出定理 #

向量 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表出。

$\lrArr \exist$ 实数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 使 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_m \alpha_m = \beta$

$\lrArr$ 方程组 $[\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m ]$ $<script type="math/tex; mode=display">\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}$ = \beta 有解。

$\lrArr$ 秩 $r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m) = r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m, \beta)$

3.4. 定理2 线性相关定理 #

向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m (\alpha_j = (a_{1j}, a_{2j}, \cdots, a_{nj})^T, j =1, 2, \cdots, m)$ 线性相关 $\lrArr$ 以 $a_j$ 为列向量的其次线性方程组

$x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_m \alpha_m = 0$

即

${\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1m}x_m = 0 & \\ a_{21}x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2m}x_m = 0 & \\ \cdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nm}x_m = 0 & \\ \end{aligned}\right. }$

有非零解。

3.4.1. 推论1 #

$n$ 个 $n$ 维向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性相关 $\Lrarr$ 行列式 $|\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n| = 0$ 。

3.4.2. 推论2 #

任何 $n + 1$ 个 $n$ 维向量必线性相关。

3.4.3. 推论3 #

任何部分组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 相关 $\rArr$ 整体组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \cdots, \alpha_s$ 相关。

整体组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r, \cdots, \alpha_s$ 无关 $\rArr$ 任何部分组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 无关，反之均不成立。

3.4.4. 推论4 #

$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关 $\rArr$ 则其延伸组 $\hat{\alpha_1}, \hat{\alpha_2}, \cdots, \hat{\alpha_n}$ 线性无关。

$\hat{\alpha_1}, \hat{\alpha_2}, \cdots, \hat{\alpha_n}$ 线性相关 $\rArr$ 则其缩短组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关。

3.5. 定理3 #

向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s \ge 2)$ 线性相关 $\lrArr$ 至少有一个向量 $\alpha_i$ 可以由其余向量线性表出。

3.6. 定理4 #

若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，而向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性表出，且表出法唯一。

3.7. 定理5 #

设有两个向量组 $(I) \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, (II)\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$

若 $\beta_i(i = 1, 2, \cdots, t)$ 均可由 $(I)$ 线性表出，且 $t > s$ ，则 $(II)\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 线性相关。
若 $\beta_i(i = 1, 2, \cdots, t)$ 均可由 $(I)$ 线性表出，且 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 线性无关，则 $t \le s$ 。

多数向量由少数向量线性表出 $\rArr$ 多数向量线性相关

4. 向量组的秩、矩阵的秩 #

4.1. 向量组的秩 #

向量组 $\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \cdots, \alpha_{is}(1 \le i_r \le s)$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 的部分组，满足条件

$\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \cdots, \alpha_{is}$ 线性无关
向量组中任一向量 $\alpha_i(1 \le i \le s)$ 均可由 $\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \cdots, \alpha_{is}$ 线性表出，则称向量组 $\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \cdots, \alpha_{ir}$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 的极大线性无关组。

条件 $(2)$ 的等价说法是： $\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \cdots, \alpha_{ir}$ 中加入任一向量 $\alpha_j (1 \le j \le s)$ ，则向量组 $\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \cdots, \alpha_{ir}, \alpha_j$ 线性相关。

向量组的极大无关组一般不唯一，但极大无关组的向量个数是一样的。只有一个零向量组成的向量组没有极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身。向量组的极大线性无关组的向量个数称为向量组的秩，记为 $r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s)$ 。

4.1.1. 定义 #

设向量组

$(I)\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ $(II)\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$

若 $(I)$ 中的每个向量 $\alpha_i, i = 1, 2, \cdots, s$ ，均可由 $(II)$ 线性表出，则称 $(I)$ 可由 $(II)$ 线性表出。

若向量组 $(I)、(II)$ 可以互相表出，则称向量组 $(I)、(II)$ 是等价向量组，记成 $(I) \simeq (II)$ 。

向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。

一个向量组中各极大无关组之间是等价向量组，且向量个数相同。

4.1.2. 定理6 #

如果向量组 $(I)$ 可由向量组 $(II)$ 线性表出，则 $r(I) \le r(II)$ 。

4.1.3. 推论 #

如果向量组 $(I)$ 和 $(II)$ 等价，则 $r(I) = r(II)$ 。

4.2. 矩阵的秩 #

4.2.1. 子式定义 #

在 $m \times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行和 $k$ 列 $(k \le m, k \le n)$ ，位于这些行与列的交叉点上的 $k^2$ 个元素按其在原来矩阵 $A$ 中的次序可构成一个 $k$ 阶行列式，称其为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式。

4.2.2. 秩的定义 #

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，若 $A$ 中存在 $r$ 阶子式不等于零， $r$ 阶以上子式均等于零，则称矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，记成 $r(A)$ ，零矩阵的秩规定为 $0$ 。

秩 $r(A) = x \lrArr$ 矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数是 $x$ 。

$r(A) < x \lrArr$ $A$ 中每一个 $r$ 阶子式全为 $0$ 。

$r(A) > x \lrArr$ $A$ 中有 $r$ 阶子式不为 $0$ 。

特别地， $r(A) = 0 \lrArr A = O$ 。

$A \ne O \lrArr r(A) \ge 1$ 。

若 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $r(A) = n \lrArr |A| \ne 0 \lrArr A$ 可逆。

$r(A) < n \lrArr |A| = 0 \lrArr A$ 不可逆。

若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $r(A) \le min(m, n)$ 。

4.2.3. 定理7 #

经过初等变换，矩阵的秩不变。

4.2.4. 矩阵秩的公式 #

$r(A) = r(A^T)$
$r(A^T A) = r(A)$
当 $k \ne 0$ 时， $r(kA) = r(A)$
$r(A + B) \le r(A) + r(B)$
$r(AB) \le \min (r(A), r(B))$
$\max (r(A), r(B)) \le r(A, B) \le r(A) +r(B)$
若 $A$ 可逆，则 $r(AB) = r(B)$ , $r(BA) = r(B)$
若 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是 $n \times s$ 矩阵
$AB = O$ ，则 $r(A) + r(B) \le n$
分块矩阵 $r<script type="math/tex; mode=display">\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}$ = r(A) + r(B)

4.2.5. 定理8 三秩相等 #

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，将 $A$ 以行及列分块，得

$A_{m\times n} = <script type="math/tex; mode=display">\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{bmatrix}$ = [\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n]

则有 $r(A) = r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m) = r(\beta_1, \beta_2, \beta_3)$

矩阵 $A$ 的秩 $=$ $A$ 的行秩 $=A$ 的列秩。

5. 正交规范化、正交矩阵 #

5.1. 内积 #

5.1.1. 定义 #

定义：设有 $n$ 维向量 $\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^T, \beta = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^T$ ，令

$(\alpha, \beta) = \alpha^T \beta = \beta^T \alpha = \sum_{i=1}^n a_i b_i$

则称 $(\alpha, \beta)$ 为向量 $\alpha, \beta$ 的内积。

内积满足以下性质

$(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$ （对称性）
$\lambda(\alpha, \beta) = (\lambda \alpha, \beta) = (\alpha, \lambda \beta)$ （线性性）
$(\alpha + \beta, \lambda) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma)$ （线性性）
$(\alpha, \alpha) \ge 0$ ，等号成立当且仅当 $\alpha = 0$ （正定性）

5.1.2. 外积 #

$\alpha \otimes \beta$ = $<script type="math/tex; mode=display">\begin{bmatrix} a_1 b_1 & \cdots & a_n b_1 \\ & \cdots \\ a_1 b_n & \cdots & a_n b_n \end{bmatrix}$

5.1.3. 向量的模 #

设 $|| \alpha || = \sqrt{(\alpha, \alpha)} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$ 称为向量 $\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^T$ 的模（长度）， $||\alpha|| = 1$ 时称 $\alpha$ 为单位向量。

5.1.4. 正交定义 #

两个向量 $\alpha, \beta$ 夹角的余弦为

$\cos \hat{(\alpha, \beta)} = \frac{(\alpha, \beta)}{||\alpha|| \cdot ||\beta||}$

当 $(\alpha, \beta) = 0$ 时，则 $\cos \hat{(\alpha, \beta)} = 0, \hat{(\alpha, \beta)} = \displaystyle\frac{\pi}{2}$ ，此时称向量 $\alpha, \beta$ 正交。

5.2. 施密特正交化 #

施密特 $Schmidt$ 标准正交化方法

设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，其标准正交化的方法如下（又称正交规范化）：

先正交化，取

$\beta_1 = \alpha_1$

$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1$

$\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2$

则 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是正交向量组。

再将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 单位化，取

$\eta_1= \displaystyle\frac{\beta_1}{|\beta_1|}$ , $\eta_2= \displaystyle\frac{\beta_2}{|\beta_2|}$ , $\eta_3= \displaystyle\frac{\beta_3}{|\beta_3|}$

则 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是标准正交向量组，即有 $(\eta_i, \eta_j) = {\left\{ <script type="math/tex; mode=display">\begin{aligned} 0 & , (i \ne j) \\ 1 & , (i = j) \\ \end{aligned}$ \right. }