第二章矩阵 #

1. 背景 #

前段时间复习完了线代第二章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 矩阵的概念及运算 #

2.1. 矩阵的概念 #

定义 $m \times n$ 个数排成如下 $m$ 行 $n$ 列的一个表格

$D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

称为是一个 $m \times n$ 矩阵，当 $m = n$ 时，矩阵 $A$ 称为 $n$ 阶矩阵或叫 $n$ 阶方阵。

$n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}]_{n\times n}$ 的元素所构成的行列式称为 $n$ 阶矩阵 $A$ 的行列式，记为 $|A|$ 或 $\det A$ 。

2.2. 矩阵的运算 #

2.2.1. 加法 #

两个同型矩阵（行与列数量分别相等）可以相加，且

$A + B = [a_{ij}]_{m\times n} + [b_{ij}]_{m\times n} = [a_{ij} + b_{ij}]_{m\times n}$

2.2.2. 数乘 #

设 $k$ 是数， $A = [a_{ij}]_{m\times n}$ 是矩阵，则定义数与矩阵的乘法为

$kA = k[a_{ij}]_{m\times n} = [ka_{ij}]_{m\times n}$

设 $A$ 是一个 $m \times s$ 矩阵， $B$ 是一个 $s \times n$ 矩阵（ $A$ 的行数 $= B$ 的列数），则 $A, B$ 可乘，且乘积 $AB$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，记成 $C = AB = [c_{ij}]_{m \times n}$ ，其中 $C$ 的第 $i$ 行，第 $j$ 列元素 $c_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行 $s$ 个元素和 $B$ 的第 $j$ 列的 $s$ 个对应元素两两相乘之和，即

$c_{ij} = \sum_{k = 1}^s a_{ik} b_{kj} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{is} b_{sj}$

2.2.4. 转置 #

将 $m \times n$ 型矩阵 $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ 的行列互换得到的 $n \times m$ 矩阵 $[a_{ij}]_{n \times m}$ 称为 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^T$ 。

2.2.5. 运算法则 #

2.2.5.1. 加法

$A, B, C$ 是同型矩阵，则

交换律

$A + B = B + A$

结合律

$(A + B) + C = A + (B + C)$

零矩阵运算

$A + O = A$

其中 $O$ 是元素全为零的同型矩阵

$A + (-A) = O$

2.2.5.2. 数乘矩阵

$k(mA) = (km)A = m(kA)$

$(k + m)A = kA + mA$

$k(A + B) = kA + kB$

$1A = A$

$0A = O$

2.2.5.3. 乘法

$A, B, C$ 满足运算条件时

$(AB)C = A(BC)$

$A(B+C) = AB + AC$

$(B + C)A = BA + CA$

注： $AB \ne BA$ ，矩阵乘法不符合交换律。

2.2.5.4. 转置

$(A + B)^T = A^T + B^T$

$(kA)^T = kA^T$

$(AB)^T = B^T A^T$

$(A^T)^T = A$

2.3. 常见的矩阵 #

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵

单位阵：主对角元素为1，其余元素为0的矩阵称为单位阵，记成 $E_n$ 。
数量阵：数 $k$ 与单位阵 $E$ 的积 $kE$ 称为数量阵。
对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成 $\Lambda$
上（下）三角矩阵：当 $i > j(i < j)$ 时，有 $a_{ij} = 0$ 的矩阵称为上（下）三角矩阵。
对称阵：满足 $A^T = A$ ，即 $a_{ij} = a_{ji}$ 的矩阵称为对称阵
反对称阵：满足 $A^T = -A$ ，即 $a_{ij} = -a_{ji}, a_{ii} = 0$ 的矩阵称为对称阵

3. 伴随矩阵、可逆矩阵 #

3.1. 伴随矩阵的概念与公式 #

伴随矩阵：由矩阵 $A$ 的行列式 $|A|$ 所有的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，记为 $A^*$ .

3.2. 伴随矩阵的公式 #

$AA^* = A^* A = |A| E$

$(A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{1}{|A|}A (|A| \ne 0)$

$(kA)^* = k^{n-1} A^*$

$(A^*)^T = (A^T)^*$

$|A^*| = |A|^{n-1}$

$(A^*)^* = |A|^{n-2}A (n \ge 2)$

3.3. 可逆矩阵的概念与定理 #

定义：设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得

$AB = BA = E（单位矩阵）$

成立，则称 $A$ 是可逆矩阵或非奇异矩阵， $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记成 $A^{-1} = B$ 。

定理一：若 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵唯一

定理二： $A$ 可逆 $\lrArr |A| \ne 0$

定理三：设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵且 $AB = E$ ，则 $BA = E$

3.4. $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件 #

存在 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使 $AB = E$ （或 $BA = E$ ）
$|A| \ne 0$ ，或秩 $r(A) = n$ ，或 $A$ 的列（行）向量线性无关
齐次方程组 $Ax = 0$ 只有零解
$\forall b$ ，非齐次线性方程组 $Ax = b$ 总有唯一解
矩阵 $A$ 的特征值全不为0

3.5. 逆矩阵的运算性质 #

若 $k \ne 0$ ，则 $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ ；若 $A, B$ 可逆，则 $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ ，特别地 $(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$

若 $A^T$ 可逆，则 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ ， $(A^{-1})^{-1} = A$ ; $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

注意：即使 $A,B$ 和 $A + B$ 都可逆，一般地 $(A + B)^{-1} \ne A^{-1} + B^{-1}$

3.6. 求逆矩阵的方法 #

方法一：用公式，若 $|A| \ne 0$ ，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$

方法二：初等变换法 $(A|E) \xrightarrow{初等行变换} (E|A^{-1})$

方法三：用定义求 $B$ ，使 $AB = E$ 或 $BA = E$ ，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = B$

方法四：用分块矩阵

设 $B, C$ 都是可逆矩阵，则

$\begin{bmatrix} B & O \\ O & C \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} B^{-1} & O \\ O & C^{-1} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} O & B \\ C & O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O \end{bmatrix}$

4. 初等变换、初等矩阵 #

4.1. 初等变换与初等矩阵的概念 #

初等变换定义：

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，

用某个非零常数 $k(k\ne 0)$ 乘 $A$ 的某行（列）的每个元素。
互换 $A$ 的某两行（列）的位置
将 $A$ 的某行（列）元素的 $k$ 倍加到另一行（列）

称为矩阵的三种初等行（列）变换，且分别称为初等 倍乘、互换、倍加 行（列）变换，统称初等变换。

初等矩阵定义：由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，它们分别是：

倍乘初等矩阵，记为 $E(i(k))$

$E(2(k))$ 表示由单位矩阵 $E$ 的第二行（或第二列）乘 $k(k\ne 0)$ 倍得到的矩阵。

互换初等矩阵，记为 $E(i, j)$

$E(1, 2)$ 表示由单位阵 $E$ 的第一、二行（或一、二列）互换得到的矩阵。

倍加初等矩阵，记为 $E(ij(k))$

$E(13(k))$ 表示由单位阵 $E$ 的第一行的 $k$ 倍加到第三行得到的矩阵。当看成列变换时，应是第三列的 $k$ 倍驾到第一列得到的矩阵。

等价矩阵定义：矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记成 $A \simeq B$ 。若 $A \simeq <script type="math/tex; mode=display">\begin{bmatrix} E_r & O \\ O & O \end{bmatrix}$ ，则后者称为 $A$ 的等价标准形。（ $A$ 的等价标准形是与 $A$ 等价的所有矩阵中的最简矩阵）。

4.2. 初等矩阵与初等变换的性质 #

初等矩阵的转置仍是初等矩阵
初等矩阵均是可逆阵，且其逆矩阵仍是初等矩阵
用初等矩阵 $P$ 左乘（右乘） $A$ ，其结果 $PA(AP)$ ，相当于对 $A$ 作相应的初等行（列）变换。

定理4：矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积

$P_N \cdots P_2 P_1 A = E$

4.3. 行阶梯矩阵，行最简矩阵 #

4.3.1. 行阶梯矩阵 #

如果矩阵中有零行（即这一行元素全是0），则零行在矩阵的底部。
每个非零行的主元（即该行最左边的第一个非零元），它们的列指标随着行指标的递增而严格增大。

4.3.2. 行最简矩阵 #

一个行阶梯矩阵，如果还满足：

非零行的主元都是1，且主元所在的列的其他元素都是0，则称其为行最简矩阵。

如 $A \xrightarrow{初等行变换} B$ ，即 $P_t \cdots P_2 P_1 A = B$ ，记 $P = P_t \cdots P_2 P_1$ 有 $PA = B$

由 $P_t \cdots P_2 P_1 A = B$ 和 $P_t \cdots P_2 P_1 E = P$ 表明当 $A$ 经行变换得到 $B$ 时， $E$ 在同样的行变换下得到 $P$ ，即 $(A | E) \rightarrow (B|P)$ 。

5. 分块矩阵 #

5.1. 分块矩阵的概念 #

将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵（或子块），把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。

由于不同的需要，同一个矩阵可以用不同的方法分块，构成不同的分块矩阵。

5.2. 分块矩阵的运算 #

对矩阵适当地分块处理（要保证相对应子块的运算能够合理进行），就有如下运算法则：

$\begin{bmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 + B_1 & A_2 + B_2 \\ A_3 + B_3 & A_4 + B_4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AX + BZ & AY + BW \\ CX + DZ & CY + DW \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{bmatrix}$

若 $B, C$ 分别是 $m$ 阶与 $s$ 阶矩阵，则

$\begin{bmatrix} B & O \\ O & C \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} B^n & O \\ O & C^n \end{bmatrix}$