第一章行列式 #

1. 背景 #

前段时间复习完了线代第一章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 行列式的概念 #

行列式是一个数（和矩阵不同），它是不同行不同列元素乘积的代数和。

三阶行列式

$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\\ \end{vmatrix} = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1 - a_2 b_1 c_3 - a_1 b_3 c_2 \tag{1.1}$

三阶行列式的对角线法则到四阶行列式失灵，今后计算四阶行列式必须要用展开公式法。

3. 行列式的性质 #

记 $|A| = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ c_1 & c_2 & c_3\\ \end{vmatrix}$

$|A^T| = \begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\\ \end{vmatrix}$

行列式 $|A^T|$ 称为 $|A|$ 的转置行列式。

$|A| = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ c_1 & c_2 & c_3\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\\ \end{vmatrix} = |A^T| \tag{1.2}$

3.2. 性质2 换行（列）值变号 #

两行（或列）互换位置，行列式的值变号。特别地，两行（或列）相同，行列式的值为0。

3.3. 性质3 提取公共因子k #

某行（或列）如有公因子 $k$ ，则可把 $k$ 提出行列式记号外。（亦即用数 $k$ 乘行列式 $|A|$ 等于用 $k$ 乘它的某行（或列））。

特别地：

某行（或列）的元素全为 $0$ ，行列式的值为 $0$ 。
若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为 $0$ 。

3.4. 性质4 拆解公共元素 #

如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和。

$\begin{vmatrix} a_1 + b_1 & a_2 + b_2 & a_3 + b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\\ d_1 & d_2 & d_3\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\\ d_1 & d_2 & d_3\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\\ d_1 & d_2 & d_3\\ \end{vmatrix} \tag{1.3}$

3.5. 性质5 加k值不变 #

把某行（或列）的 $k$ 倍加到另一行（或列），行列式值不变。

$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 + ka_1 & b_2 + ka_2 & b_3 + ka_3\\ c_1 & c_2 & c_3\\ \end{vmatrix} \tag{1.4}$

4. 行列式按行（或列）展开公式 #

在 $n$ 阶行列式

$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \tag{1.5}$

中划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 $n-1$ 阶的行列式，称其为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $M_{ij}$ ，称 $(-1)^{i + j} M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$ ，即

$A_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij} \tag{1.6}$

4.1. 定理1 展开代数余子式 #

$n$ 阶行列式等于它的任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}, i = 1,2, \cdots, n \tag{1.7}$

$|A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} = \sum_{k=1}^n a_{kj}A_{kj}, j = 1,2, \cdots, n \tag{1.8}$

前一个公式称为 $|A|$ 按第 $i$ 行展开的展开式，后一个公式称为 $|A|$ 按第 $j$ 列展开的展开式。

4.2. 定理2 错位展开余子式的值为0 #

行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式公式乘积之和为 $0$ ，即

$|A| = a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = 0, i \ne j \tag{1.9}$

$|A| = a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{ni}A_{nj} = \sum_{k=1}^n a_{ki}A_{kj} = 0, i \ne j \tag{1.10}$

4.3. 特例1 上（下）三角形行列式 #

上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积。

$\begin{aligned} &\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \cdots & \ldots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|\\ \end{aligned} = \begin{aligned} &\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \ldots & \ldots & \cdots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| \end{aligned} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} \tag{1.11}$

4.4. 特例2 关于副对角线的行列式 #

$\begin{aligned} &\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \ldots & \ldots & \cdots & \ldots \\ a_{n1} & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right|\\ \end{aligned} = \begin{aligned} &\left|\begin{array}{cccc} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2, n-1} & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \cdots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| \end{aligned} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} \tag{1.12}$

4.5. 特例3 两个特殊的拉普拉斯展开式 #

如果 $A$ 和 $B$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵，则

$\begin{vmatrix} A & \star \\ O & B \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ \star & B \\ \end{vmatrix} = |A| \cdot |B| \tag{1.13}$

$\begin{vmatrix} O & A \\ B & \star \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \star & A \\ B & O \\ \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| \cdot |B| \tag{1.14}$

4.6. 特例4 范德蒙德行列式 #

形如

$\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \ldots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right| \tag{1.15}$

的 $n$ 阶行列式称为范德蒙德行列式。若 $D_n$ 为 $n$ 阶范德蒙德行列式，则

$D_{n}=\prod_{1 \leq j<i \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right) \tag{1.16}$

5. 克拉默法则 #

若 $n$ 个方程 $n$ 个未知量构成的非齐次线性方程组

${\left\{ \begin{aligned} &a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ &a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ &\cdots \\ &a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \\ \end{aligned}\right. } \tag{1.17}$

的系数行列式 $|A| \ne 0$ ，则方程组有唯一解，且

$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}, i = 1,2,\cdots, n \tag{1.18}$

其中 $|A_i|$ 是 $|A|$ 第 $i$ 列元素（即 $x_i$ 的系数）替换成方程组右端的常数项 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 所构成的行列式。

推论若包含 $n$ 个方程 $n$ 个未知量的齐次线性方程组

${\left\{ \begin{aligned} &a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ &a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ &\cdots \\ &a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \\ \end{aligned}\right. } \tag{1.19}$

的系数行列式 $|A| \ne 0$ ，的充要条件是方程组有唯一零解。

反之，若齐次线性方程组有非零解，充要条件是其系数行列式 $|A| = 0$ 。

$|A| = 0$ 则系数组成的 $n$ 个 $n$ 维向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性相关。

用法

用于证明
特殊情况下用来解方程组（一般不使用）