第一章 行列式#
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1. 行列式计算#
1.1. 通过代数余子式按行列展开#
1.1.1. 660题 - 342#
答案
$$0$$ 展开式如下： $$ |A| = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} = \sum_{k = 1}^{n} a_{kj} A_{kj}, j = 1, 2, \cdots, n $$1.2. 行列变换#
1.2.1. 660题 - 347#
设 阶矩阵 ，，若行列式 ，则
答案
$$0$$ 将 $|A - B|$ 的其余各列加到第一列，第一列为 $0$，则行列式值为$0$。 $$ { \begin{aligned} |A - B| &= |\alpha_1 - \alpha_n, \alpha_2 - \alpha_1, \cdots, \alpha_n - \alpha_{n - 1}| & \\ &= |0, \alpha_2 - \alpha_1, \cdots, \alpha_n - \alpha_{n - 1}|&\\ & = 0 \end{aligned} } $$1.3. 范德蒙德行列式#
1.3.1. 660题 - 281#
= \underline{\hspace*{1cm}}.
答案
$$-120$$ 解析：将第一行加到第四行，然后使用范德蒙德行列式 $$ \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \ldots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right| = \prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j) $$1.4. 逐行列相加减#
1.4.1. 660题 - 280#
= \underline{\hspace*{1cm}}.
答案
$$24$$ 解析：第二行减第一行，第三行减第二行，以此类推，得到一个上三角行列式。1.5. 爪形行列式#
1.5.1. 660题 - 283#
= \underline{\hspace*{1cm}}.
答案
$$84$$ 解析：先把第一行的$-1$倍分别加到其他各行，得到爪形行列式，再把每一列加到第一列，凑成上三角行列式进行计算。 **爪形行列式：** $$ \begin{vmatrix}5&2&3&4\\-3&3&0&0\\-2&0&2&0\\-1&0&0&1\end{vmatrix} $$1.6. 关于副对角线的行列式#
1.6.1. 660题 - 278#
= \underline{\hspace*{1cm}}.
答案
$$-12$$ 解析：先将第一行的 $-3$ 倍加到第四行，再通过关于副对角线的行列式的公式计算。 $$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \ldots & 0 \end{array}\right| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n} a_{2, n-1} \cdots a_{n1} $$1.7. 特殊拉普拉斯展开式#
1.7.1. 660题 - 282#
= \underline{\hspace*{1cm}}.