第一章_随机事件与概率 #

定义：设 $B_1, B_2, \cdots B_{n}$ 满足 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega,B_i B_j = \varnothing (i \ne j)$ 且 $P(B_k) > 0, k = 1, 2, \cdots, n$ ，则对任意事件 $A$ 有

$P(A) = \sum_{i = 1}^{n} P(B_i) P(A | B_i)$

证明：

根据条件得 $B$ 为 $\Omega$ 的一个划分，则

$A = A B_1 \cup A B_2 \cup \cdots \cup A B_n$

且 $AB_i$ 与 $AB_j$ 不相容，所以

$P(A) = \sum_{i = 1}^{n} P(AB_i) = \sum_{i = 1}^{n} P(B_i) P(A | B_i)$

公式得证

2.3.5. 贝叶斯公式 #

设 $B_1, B_2, \cdots B_{n}$ 满足 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega,B_i B_j = \varnothing (i \ne j)$ 且 $P(A) > 0, P(B_k) > 0, k = 1, 2, \cdots, n$ ，则

$P(B_i | A) = \frac{P(B_j) P(A | B_j)}{\sum_{i = 1}^{n} P(B_i) P(A | B_i)}, j = 1, 2, \cdots, n$

注1：概率计算中常要结合对偶律应用性质 $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

注2： $A$ 和 $B$ 相互独立时

$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cdot \overline{B}) = 1 - P(\overline{A}) P(\overline{B})$

$P(A - B) = P(A \overline{B}) = P(A) P(\overline{B})$

3. 古典概型与伯努利概型 #

3.1. 二项概率公式 #

伯努利实验:
- 如果每次实验只有两个结果 $A$ 和 $\overline{A}$ ，则这种实验为伯努利实验，将伯努利实验独立重复进行 $n$ 次，成为 $n$ 重伯努利实验。
二项式概率公式:
- 设在每次实验中，概率 $P(A) = p(0<p<1)$ ，则在 $n$ 重伯努利实验中事件 $A$ 发生 $k$ 次的概率，又称为二项式概率公式

$C_n^k p^k (1-p)^{n-k},k = 0, 1, 2, \cdots,n$

4. 补充阅读 #

4.1. 排列组合公式 #

排列公式

$P_n^m = \frac{n!}{(n - m)!} = n(n - 1)\cdots(n - m + 1)$

组合公式

$C_n^m = \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} = \frac{n!}{m!(n - m)!} = \frac{P_n^m}{m!}$

有放回的排列公式，如用 $n$ 个数字组成 $m$ 位数。

$(P_n^1)^m = n ^ m$

4.2. 常用组合公式 #

$C_n^k = C_n^{n - k}$

$C_{n + 1}^{k} = C_n^k + C_n^{k - 1}$

$\sum_{i = 0}^n C_n^i = 2^n$

$C_{n + m}^k = \sum_{i = 0}^k C_n^i C_m^{k - i}$